cz_xuyixuan的博客

【题目链接】点击打开链接【思路要点】我们称将其余每一种颜色的气球各一个标为颜色 iii 为操作 iii 。考虑对于给定的 {ai}\{a_i\}{ai​} ，如何判断是否能够进行 aia_iai​ 次操作 iii ，下称 {ai}\{a_i\}{ai​} 是否可行。显然最优的方案是每一次操作一个 aia_iai​ 不为 000 且对应的气球数最少的颜色。按照这样的策略，可以...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】记 waysiways_iwaysi​ 表示从 111 号点走到 iii 号点的方案数，有 waysi=p×waysi−1+q×waysi−2 (i≥2)ways_{i}=p\times ways_{i-1}+q\times ways_{i-2}\ (i\geq2)waysi​=p×waysi−1​+q×waysi−2​ (...

【思路要点】记 PN(k)P_N(k)PN​(k) 表示 NNN 的点的图选择 kkk 次，图尚不连通的概率，那么E(Ans)=∑k=0∞PN(k)E(Ans)=\sum_{k=0}^{\infty}P_N(k)E(Ans)=k=0∑∞​PN​(k)考虑计算 PN(k)P_N(k)PN​(k) ，枚举 iii ，选定一个大小为 iii 的不连通的边集，限定 kkk 次选择均在该边集内，则...

【比赛链接】点击打开链接【题解链接】点击打开链接【C】 Stones【思路要点】枚举最后的石子分布，用前缀和优化计算代价。时间复杂度 O(N)O(N)O(N) 。【代码】#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 2e5 + 5;typedef long lon...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】不难发现联通块一定是一个值域连续的区间，任何一个排列的联通状况一定是分成了若干个值域递减的区间。记 coeficoef_icoefi​ 表示 iii 个点的排列， 111 至 iii 均连通的方案数。由容斥原理，有 coefi=i!−∑j=1i−1coefj×(i−j)!coef_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}coef_j\ti...

【思路要点】考虑合法序列 AAA 的性质：(1)(1)(1) 、 AAA 包含 000 。(2)(2)(2) 、若 0∼x−10\sim x-10∼x−1 均在 AAA 中，那么对于任意自然数 kkk ， kx∼(k+1)x−1kx\sim (k+1)x-1kx∼(k+1)x−1 或是均在 AAA 中，或是均不在 AAA 中。(3)(3)(3) 、若 AAA 中次小的元素为 xxx ，...

【思路要点】考虑 r=1r=1r=1 ，问题要求将排列分成若干段长度为 kkk 的极长上升序列，这里假设 NNN 是 kkk 的倍数， NNN 不为 kkk 的倍数时只需要多一些细节处理。若不考虑极长的限制，这里的排列数显然为 N!k!Nk\frac{N!}{k!^{\frac{N}{k}}}k!kN​N!​ ，那么，我们可以用容斥原理计算考虑极长限制的方案数，即记 dpidp_idpi​...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】定义毛毛虫的主链为去掉度为 111 的节点的部分。主链长度不足 222 的情况即为一个菊花图，显然有 N−[N=2]N-[N=2]N−[N=2] 种。考虑枚举主链长度 i (i≥2)i\ (i\geq 2)i (i≥2) ，任意排列主链上的点，共有 Ni2\frac{N^{i}}{2}2Ni​ 种。对于剩余节点，我们要...

【思路要点】我们需要计算的答案即为 ∑i1+i2+⋯+iM=N(u+v)i1(2u+v)i2…(M×u+v)iM\sum_{i_1+i_2+\dots+i_M=N}(u+v)^{i_1}(2u+v)^{i_2}\dots(M\times u+v)^{i_M}∑i1​+i2​+⋯+iM​=N​(u+v)i1​(2u+v)i2​…(M×u+v)iM​ 。考虑如下组合问题：有一个长度为 N+M−...

【思路要点】注意到若序列中 000 的限制不存在，我们便只需要将每一条链分成若干段，使得长度一定的段数量一定即可，可以设计一个简单的 dpdpdp 解决问题。考虑容斥原理，枚举将 000 的限制变为 111 的限制。注意到最长的链 1−2−4−8−16−321-2-4-8-16-321−2−4−8−16−32 长度为 666 ，因此我们只需要统计 666 种长度的段的数量，实际状态数 C...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】考虑如下计算方式：任选 kkk 个三维坐标互不相等的位置，规定它们的大小关系，则对于每一个位置，都有至多一个限制，要求该值小于另一位置的值，这样的关系形成了一棵树，可以通过计算树的拓扑排序数来得到这 kkk 个位置均为极大点的概率，记所有选法的概率和为 func(k)func(k)func(k) 。对于一个具有 iii 个极大点的方案，它会...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】考虑给出的图为外向树的情况，各个点都需要早于子树中所有的点，记 sizeisize_isizei​ 表示 iii 子树中所有点的 wiw_iwi​ 之和，则获奖概率为∏i=1Nwisizei\prod_{i=1}^{N}\frac{w_i}{size_i}i=1∏N​sizei​wi​​对所有 wiw_iwi​ 的分布进行背包即可。给出的...

【比赛链接】点击打开链接【题解链接】点击打开链接【A】 Triangle【思路要点】注意到对于任意一个格点三角形，我们都可以找到一个点，将其平移至原点处后，另外两个点在同一象限内，或在该象限相邻的坐标轴上。因此，可以不失一般性地假定一个点在 (0,0)(0,0)(0,0) 处。令另外两点的坐标为 (x,y),(a,b)(x,y),(a,b)(x,y),(a,b)...

【比赛链接】点击打开链接【题解链接】点击打开链接【A】 XOR Circle【思路要点】题目给出的要求等价于相邻的三个数异或和为 000 。特判全部 aia_iai​ 均为 000 的情况，这种情况是有解的。否则，如果确定 1,21,21,2 号位置为 a,ba,ba,b ，则 333 号位置一定为 a⊕ba\oplus ba⊕b ， 444 号位置一定为 aa...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】考虑 M=0M=0M=0 的做法，记 P(x,y)P(x,y)P(x,y) 表示经过 (x,y)(x,y)(x,y) 的概率，也即 (x+yx)AyBx\binom{x+y}{x}A^yB^x(xx+y​)AyBx ，并记 Ft(x)=∑i=0tP(i,t−i)×xiF_t(x)=\sum_{i=0}^{t}P(i,t-i)\times x^i...

【思路要点】补集转化，对于每个询问 SSS ，考虑求不能满足条件的方案数 query(S)query(S)query(S) 。记 cntS=∑i=1N[ai∪S=∅]cnt_S=\sum_{i=1}^{N}[a_i\cup S=\empty]cntS​=∑i=1N​[ai​∪S=∅] ，即不能满足 sss 中任何一个条件的 aia_iai​ 的个数。则由容斥原理，有 query(S)=∑...

【T1】 光影交错【思路要点】NNN 轮后仪式仍然进行的概率为 (1−p)N(1-p)^N(1−p)N ，当 p=10−5p=10^{-5}p=10−5 时，取 N&gt;107N&gt;10^7N>107 可以保证该概率在 10−2010^{-20}10−20 以内，因此忽略这部分情况不会导致精度要求不能接受的误差产生。记 f(i)f(i)f(i) 表示出现 ii...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】见 官方题解 。（反正也是我写的）时间复杂度 O(NLog2N)O(NLog^2N)O(NLog2N) 。【代码】#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 262144;const int P = 998244353;typedef l...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】将树拆成若干路径，并考虑长度 ≥2\geq2≥2 的路径的放置方向。然后问题变成了在环上放点，相邻位置颜色不同的方案数。做法同 【校内训练2018-06-28】比谁数得对 。时间复杂度 O((∑ki)2)O((\sum k_i)^2)O((∑ki​)2) 。【代码】#include<bits/stdc++.h>us...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】可以发现，中心能够存在的位置同样是树上的一个连通块，一个方案合法当且仅当该联通块大小非零。注意到布尔值 “连通块大小非零” 等于 “连通块内部点数” 减去 “连通块内部边数” ，可以考虑枚举存在于最终连通块上的一点或一边，并计算使得该点或边存在于最终连通块上的方案数，再利用上述关系计算答案。以枚举存在于最终连通块上的一点 xxx 为例，我们...

【思路要点】问题等价于禁用 N×NN\times NN×N 的矩阵的左上角 A×AA\times AA×A 的三角形范围、右下角 (N−A)×(N−A)(N-A)\times (N-A)(N−A)×(N−A) 的三角形范围，在剩余部分各行各列均选出恰好一个元素的方案数。若只禁用一个 (N−A)×(N−A)(N-A)\times (N-A)(N−A)×(N−A) 的三角，显然方案数为 AN−...

【思路要点】考虑如何判断一个方案是否合法。框定一个极小的矩形使得所有 111 都在其内，覆盖该矩形左上、右下角或右上、左下角，若存在一种方式能够覆盖所有 111 ，那么方案合法。考虑对该方式进行容斥，枚举框定的矩形大小，计算覆盖该矩形左上、右下角时合法的方案数 加 覆盖该矩形右上、左下角时合法的方案数 减 两种方式中均被计算的方案数即可。计算上述方案数时，需要保证矩形的各个边界上均有 ...

【思路要点】令 ai=cntxi−cntyi,bi=cntyi−cntzi,ci=cntzi−cntxia_i=cntx_i-cnty_i,b_i=cnty_i-cntz_i,c_i=cntz_i-cntx_iai​=cntxi​−cntyi​,bi​=cntyi​−cntzi​,ci​=cntzi​−cntxi​ ， sis_isi​ 表示 iii 处的前缀异或和。则答案 AnsiAns...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】op=0op=0op=0 ，算一算两棵树的公共边数即可。时间复杂度 O(N)O(N)O(N) 或 O(NLogN)O(NLogN)O(NLogN) 。op=1op=1op=1 ，考虑枚举蓝树上的一个边集 SSS ，强制红树上同样存在这些边，计算将剩余 N−∣S∣N-|S|N−∣S∣ 个联通块连成一棵树的方案数，更新答案。上述算法中，枚举蓝...

【题目链接】 点击打开链接 【思路要点】 直接考虑联通的情况比较困难，我们考虑枚举NNN个元素的所有集合划分的方案，并强制不同的集合间不能有边，计算合法的方案数，再用容斥原理计算答案。 记fxfxf_x表示在上述过程中所有划分成xxx个集合的划分方案的合法方案数之和（注意同一个子集选取方案可能被计算多次）。 令gxgxg_x表示使得图中恰好有xxx个联...

【比赛链接】点击打开链接【题解链接】点击打开链接【C】Half and Half【思路要点】每次考虑购买两个AB披萨是否会节省，如果会，则购买，并重复这个考虑的过程。否则结束这个考虑的过程，购买剩余所需的A披萨和B披萨。时间复杂度\(O(min\{X,Y\})\)。【代码】#include&lt;bits/stdc++.h&gt;using namespace std;const int MA...

【比赛链接】点击打开链接【题解链接】点击打开链接【C】Traveling Plan【思路要点】删除一个点本质上只改变了\(O(1)\)对相邻关系，在总和的基础上调整即可。时间复杂度\(O(N)\)。【代码】#include&lt;bits/stdc++.h&gt;using namespace std;const int MAXN = 100005;template &lt;typename...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】令\(K=\frac{N+K}{2}\)，问题等价于存在恰好\(K\)对大于关系的最大匹配数。直接DP难以表示状态，考虑容斥原理。我们选定一个\(A\)中的集合，规定该集合中的点一定要大于\(B\)集合中与其相匹配的点，其余点不做要求，将符合条件的方案数加入\(Cnt_{Size}\)，其中\(Size\)为所选集合的大小。定义\(Ans_i\)为存在恰好\(i...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】分别考虑丢失1把、2把、3把斧子的方案数。定义多项式\(A\)，满足\(A_i=[i\ exist\ in\ input]\)。丢失1把斧子的方案数显然就是\(A_i\)。丢失2把斧子的方案数可以通过容斥原理计算，考虑先计算出\(B=A^2\)。对于一种方案\((x,y)\)，当\(x=y\)，它会被计算1次，否则它会被计算2次，我们只希望统计\(x\ne y\...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】平面内每一个点可以被两个向量唯一确定，因此我们可以将平面内每一个点\(P\)唯一表示为\(A*x+B*y\)的形式，一下简称\((x,y)\)。显然，当\(x\)或\(y\)不是整数，这个点可以被忽略。现在问题被我们转化为了\(A=(1,0)\)，\(B=(0,1)\)时的问题。若\(x\)和\(y\)均比较小，那么问题可以简单地用DP解决。但由于我们对问题进行...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】直接上容斥原理。令\(M=N-K\)，\(Ans=\binom{N}{M}*\sum_{i=0}^{M}(-1)^{M-i}*\binom{M}{i}*(2^{2^i}-1)\)时间复杂度\(O(N+MLogN)\)。【代码】#include&lt;bits/stdc++.h&gt;using namespace std;const int MAXN = 1...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】直接上容斥原理。时间复杂度\(O(NM)\)。【代码】#include&lt;bits/stdc++.h&gt;using namespace std;const int MAXN = 5005;const int P = 1e9 + 7;template &lt;typename T&gt; void chkmax(T &amp;x, T y) {x ...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】可以看做一共有\(N+M+C\)条限制条件。由容斥原理，答案为\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\sum_{k=0}^{C}(-1)^{N+M+C-i-j-k}*(k+1)^{i*j}*\binom{N}{i}*\binom{M}{j}*\binom{C}{k}\)。预处理乘幂，时间复杂度\(O(N*M*C)\)。【代码】#includ...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】行的取反情况与每一列的初始元素可以看做若干个小于\(2^{N}\)的二进制数。注意到行很小，我们考虑先枚举每一行是否取反，令行的取反情况为\(Mask\)。那么，每列的二进制数\(x_i\)应当变成\(x_i\ xor\ Mask\)。令\(bits_i\)代表\(i\)的二进制表示1的个数，\(Mask\)的最小答案应当为\(\sum_{i=1}^{M}min...

【题目链接】BZOJUOJ【思路要点】我们希望求出使得图强联通的边集数，这等价于求出所有边集数减去使得图不强连通的边集数。首先考虑一种非常暴力的做法，我们枚举最终的图缩点后的情况。那么，剩下的图必须是一个DAG，我们希望求出这张图在是DAG的情况下可行的边集数，并与每一个强连通分量加边方案数相乘，得到答案。后面的这个问题是原问题的一个子问题，递归对对应强联通分量的导出子图求解即可。问题在于求解一张...

【思路要点】 首先考虑a1=1a1=1a_1=1的情况。 不妨将1固定在1号位置，问题变成了链上的版本，最后只要将答案乘以∑ai∑ai\sum a_i即可。 记prodi,jprodi,jprod_{i,j}表示将iii个相同的数断成jjj段，所有不同的断法每一段权值乘积的和。 显然有prodi,j=∑ik=1k∗prodi−k,j−1prodi,j=∑k=1ik∗pro...

【题目链接】 点击打开链接 【思路要点】 首先，也是最重要的一点，我们发现若我们规定一些goodgoodgood点为greatgreatgreat，剩余的goodgoodgood点不为greatgreatgreat，可行的生成树的方案仅和我们规定为greatgreatgreat的goodgoodgood点的数量有关。 因此问题被分成了两个： 、1...

【题目链接】 点击打开链接 【思路要点】 规定1,2,...,M1,2,...,M1,2,...,M号节点为叶子结点，最后将答案乘上(NM)(NM)\binom{N}{M}。 考虑树的PruferPruferPrufer序列，叶子结点的编号不会出现在序列中。 用容斥原理计算答案即可， Ans=(NM)∗∑Ni=M(−1)i−M∗(N−Mi−M)∗...

【题目链接】点击打开链接【思路要点】考虑计算总共走了 xxx 步，且所有旅行的愉悦值的按位与的结果包含 yyy 的方案数，再简单容斥得到答案。记一次旅行走了 i (i≥1)i\ (i\geq 1)i (i≥1) 步，且其愉悦值包含 yyy 的方案数为 aia_iai​ 。记 f(x)=∑aixif(x)=\sum a_ix^if(x)=∑ai​xi ，那么...

【思路要点】特判 N=MN=MN=M 的情况，下令 N&gt;MN&gt;MN>M 。首先通过 PolyaPolyaPolya 计数法将问题转化为不能转动的形式，即枚举置换环长 i (i ∣ N,i ∣ M)i\ (i\ |\ N,i\ |\ M)i (i ∣ N,i ∣&nbs...