【BZOJ2839】集合计数

最新推荐文章于 2021-09-12 00:50:41 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】BZOJ 【类型】做题记录【算法】容斥原理【算法】数学

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本文介绍了一种利用容斥原理解决特定组合计数问题的方法，并提供了一个高效的算法实现。通过定义辅助变量和使用组合数学公式，该算法能够在O(N+MLogN)的时间复杂度内求解问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

直接上容斥原理。
令\(M=N-K\)，\(Ans=\binom{N}{M}*\sum_{i=0}^{M}(-1)^{M-i}*\binom{M}{i}*(2^{2^i}-1)\)
时间复杂度\(O(N+MLogN)\)。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000005;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, ans;
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int c(int x, int y) {return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P; }
int power(int x, int y, int P) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2, P);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int calc(int x) {
	return power(2, power(2, x, P - 1), P) - 1;
}
int main() {
	read(n), read(m); m = n - m;
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[n] = power(fac[n], P - 2, P);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
	for (int i = m; i >= 0; i--)
		if ((m - i) % 2 == 0) ans = (ans + 1ll * c(m, i) * calc(i)) % P;
		else ans = (ans - 1ll * c(m, i) * calc(i) % P + P) % P;
	writeln(1ll * ans * c(n, m) % P);
	return 0;
}