【51Nod1805】小树

最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】51Nod 【类型】做题记录【算法】容斥原理【算法】数学【算法】树的Prufer序列

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_39972971/article/details/82049740

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博客介绍了一个树问题的求解思路。规定1到M号节点为叶子结点，利用树的Prufer序列，因叶子结点编号不出现在序列中，通过容斥原理计算答案，给出计算公式，时间复杂度为O(NLogN)，还给出了代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

规定 $1,2,...,M$ 号节点为叶子结点，最后将答案乘上 $\binom{N}{M}$ 。
考虑树的 $Prufer$ 序列，叶子结点的编号不会出现在序列中。
用容斥原理计算答案即可，
$Ans=\binom{N}{M}*\sum_{i=M}^{N}(-1)^{i-M}*\binom{N-M}{i-M}*(N-i)^{N-2}$ 。
时间复杂度 $O(NLogN)$ 。

【代码】


#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 1000005;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
  x = 0; int f = 1;
  char c = getchar();
  for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
  for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
  x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
  if (x < 0) x = -x, putchar('-');
  if (x > 9) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
  write(x);
  puts("");
}
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int power(int x, int y) {
  if (y == 0) return 1;
  int tmp = power(x, y / 2);
  if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
  else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int getc(int x, int y) {
  return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
int main() {
  int n, m; read(n), read(m);
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
      fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
  inv[n] = power(fac[n], P - 2);
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
      inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
  int ans = 0;
  for (int i = m; i <= n; i++) {
      int tmp = 1;
      if ((i - m) & 1) tmp = P - 1;
      ans = (ans + 1ll * tmp * getc(n - m, i - m) % P * power(n - i, n - 2)) % P;
  }
  writeln(1ll * ans * getc(n, m) % P);
  return 0;
}