【LOJ2463】「2018 集训队互测 Day 1」完美的旅行

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【思路要点】

• 考虑计算总共走了 $x$ 步，且所有旅行的愉悦值的按位与的结果包含 $y$ 的方案数，再简单容斥得到答案。
• 记一次旅行走了 $i(i\ge 1)$ 步，且其愉悦值包含 $y$ 的方案数为 $a_i$ 。
• 记 $f(x)=\sum a_i{x}^i$ ，那么进行若干次旅行总共走了 $i$ 步且所有旅行的愉悦值的按位与的结果包含 $y$ 的方案数即为
  $$(1+f(x)+f^2(x)+f^3(x)+...)[i]=\frac{1}{1-f(x)}[i]$$
• 剩余的问题在于计算 $a_i$ ，注意到若记 $way{s}_i(x,y)$ 表示由 $x$ 到 $y$ 共走 $i$ 步的方案数， $a_i$ 是一系列 $way{s}_i(x,y)$ 的和，而 $way{s}_i(x,\ast )$ 的转移方式即为乘上给定的边数矩阵。
• 由 $Cayley-Hamilton$ 定理，其特征多项式为化零多项式，因此 $way{s}_i(x,y)$ 对于固定的 $x,y$ 存在一个 $O$