【LOJ3053】「十二省联考 2019」希望

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【思路要点】

• 可以发现，中心能够存在的位置同样是树上的一个连通块，一个方案合法当且仅当该联通块大小非零。
• 注意到布尔值 “连通块大小非零” 等于 “连通块内部点数” 减去 “连通块内部边数” ，可以考虑枚举存在于最终连通块上的一点或一边，并计算使得该点或边存在于最终连通块上的方案数，再利用上述关系计算答案。
• 以枚举存在于最终连通块上的一点 $x$ 为例，我们需要计算出包含 $x$ ，且距离 $x$ 最远的点距离在 $L$ 以内的连通块的个数 $f(x)$ ，那么最终 $x$ 贡献的方案数即为 $f(x{)}^k$ 。
• 考虑树形 $dp$ ，记 $d{p}_{i,x}$ 表示 $i$ 为根的子树中，包含 $i$ ，且所有点距离 $i$ 不超过 $x$ 的连通块个数 $+1$ ， $u{p}_{i,x}$ 包含 $i$ ，不包含 $i$ 子树内其余点，且所有点距离 $i$ 不超过 $x$ 的连通块个数，则有转移
  $$d{p}_{i,j}=1+\prod _{x\in child(i)}d{p}_{x,j-1}$$
  $$u{p}_{i,j}=1+u{p}_{fathe{r}_i,j-1}\prod _{x\in child(fathe{r}_i),x̸=i}d{p}_{x,j-2}$$
• 时间复杂度 $O(NL)$ ，可参考下文 $301$ 行起的代码。
• 我们最终需要使用的 $dp$ 值为 $d{p}_{i,L-1},d{p}_{i,L},u{p}_{i,L}$ 。
• 计算 $d{p}_i$ 的过程可以直观地使用长链剖分优化，我们需要额外支持对数组的后缀乘 $c$，和全局 $+1$ 操作。
• 为全局维护标记 $x\to ax+b$ ，则全局 $+1$ 操作可以轻松处理。
• 注意到后缀乘操作时我们一定扫描了剩余的前缀，可以将所扫描的值除去 $c$ ，再全局乘以 $c$ 。当 $c=0$ 时我们可以视作一次后缀赋值操作，可以再额外维护一个后缀赋值标记来处理。
• 由此，我们可以用长链剖分优化计算 $d{p}_i$ ，注意到除去 $c$ 的过程需要计算逆元，本部分时间复杂度为 $O(NLogV)$ 。
• 考虑优化计算 $u{p}_i$ ，同样采用长链剖分的思想，我们需要一个转移复杂度为轻边长度和的算法。注意到为了计算 $u{p}_{i,L}$ ，我们只需要计算出 $u{p}_{i,L-dept{h}_i\dots L}$ 即可，其长度同样等于 $dept{h}_i$ 。
• 首先注意到计算 $u{p}_i$ 时，我们需要使用 $d{p}_i$ 的信息，因此需要记录更改前的 $d{p}_i$ ，实现信息的可回退化，实际操作时直接用 $vector$ 记录即可。
• 考虑计算轻边的 $u{p}_i$ ，由于需要暴力重构轻边，我们只需要保证复杂度为所有轻边长度和即可，需要一个类似于上文的结构来保证复杂度。
• 计算 $pos$ 重儿子 $x$ 的 $u{p}_x$ 时可以直接扫描轻边的 $d$