这篇博客详细解析了LOJ3071题目的思路和解决方案，涉及递推公式、容斥原理以及线性递推数列的计算。通过建立数学模型，将问题转化为多项式乘法和带余除法，最终实现了O(MLog^2M + MLogMLogN)的时间复杂度解法。
【题目链接】
【思路要点】
- 记 w a y s i ways_i waysi 表示从 1 1 1 号点走到 i i i 号点的方案数，有 w a y s i = p × w a y s i − 1 + q × w a y s i − 2 ( i ≥ 2 ) ways_{i}=p\times ways_{i-1}+q\times ways_{i-2}\ (i\geq2) waysi=p×waysi−1+q×waysi−2 (i≥2)
- 考虑容斥原理，我们强制一部分格子没有被踩过，计算在剩余格子中行走的方案数，乘上容斥系数计入答案。
- 记 f i f_i fi 表示从 1 1 1 走到 i i i ，强制 i − 1 i-1 i−1 未被踩过，带有容斥系数的方案数， g i g_i gi 表示 N = i N=i N=i 时的答案，则有
f i = − ∑ j = 0 i − 2 ( q × w a y s j + 1 ) M f i − j − 2 f_{i}=-\sum_{j=0}^{i-2}(q\times ways_{j+1})^Mf_{i-j-2} fi=−j=0∑i−2(q×waysj+1)Mfi−j−2
g i = ∑ j = 0 i ( w a y s j + 1 + q × w a y s j ) M f i − j g_{i}=\sum_{j=0}^{i}(ways_{j+1}+q\times ways_j)^Mf_{i-j} gi=j=0∑i(waysj+1+q×waysj)Mfi−j- 记 W a y s ( x ) = ∑ i ≥ 0 w a y s i x i Ways(x)=\sum_{i\geq0}ways_ix^i Ways(x)=∑i≥0waysixi ，则有 W a y s ( x ) = p x W a y s ( x ) + q x 2 W a y s ( x ) + x Ways(x)=pxWays(x)+qx^2Ways(x)+x Ways(x)=pxWays(x)+qx2Ways(x)+x ，即 W a y s ( x ) = x 1 − p x − q x 2 Ways(x)=\frac{x}{1-px-qx^2} Ways(x)=1−px−qx2x
- 设 W a y s ( x ) = x 1 − p x − q x 2 = A ( x ) 1 − α x + B ( x ) 1 − β x Ways(x)=\frac{x}{1-px-qx^2}=\frac{A(x)}{1-\alpha x}+\frac{B(x)}{1-\beta x} Ways(x)=1−px−qx2x=1−αxA(x)+1−βxB(x) ，解得
α = p + p 2 + 4 q 2 , β = p − p 2 + 4 q 2 , A ( x ) = 1 p 2 + 4 q , B ( x ) = − 1 p 2 + 4 q \alpha=\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2},\beta=\frac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2},A(x)=\frac{1}{\sqrt{p^2+4q}},B(x)=-\frac{1}{\sqrt{p^2+4q}} α=2p+p2+4q,β=2p−p2+4q,A(x)=p2+4q1,B(x)=−p2+4q
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
866
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
