【校内训练2019-06-21】B

【思路要点】

• 显然，答案即为 $$[x^k]\prod _{i=1}^N\frac{1-x^i}{1-x}$$
• 分母上的的内容显然可以直接通过组合数计算，考虑计算 $$\prod _{i=1}^N(1-x^i)(mod{x}^k)$$
• 直接用生成函数计算的时间复杂度为 $O(NLogk+kLogk)$ ，但模数不友好，该做法常数较大。
• 将其看做背包问题，共有 $N$ 件大小分别为 $1,2,\dots ,N$ 的物品，一个方案的权值为 $-1$ 的物品个数次方，注意到能够放入背包的物品数为 $O(\sqrt{k})$ 级别的，可以考虑以此设计状态。
• 记 $f(i,j)$ 表示 $i$ 件物品，大小总和为 $j$ 的背包的权值和，考虑如何转移。
• 若 $i$ 件物品大小均超过 $1$ ，贡献的权值和大致为 $f(i,j-i)$ 。
• 若 $i$ 件物品中存在大小为 $1$ 的物品，贡献的权值和大致为 $-f(i-1,j-i)$ 。
• 上述计算方法中有可能会计算大小为 $N+1$ 的物品在背包中的情况，需要减去 $-f(i-1,j-(N+1))$ 。
• 因此 $$f(i,j)=f(i,j-i)-f(i-1,j-i)+f(i-1,j-(N+1))$$
• 时间复杂度 $O(N+k\sqrt{k})$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int f[2][MAXN], res[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int binom(int x, int y) {
	if (y > x) return 0;
	else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void init(int n) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[n] = power(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
}
int main() {
	freopen("b.in", "r", stdin);
	freopen("b.out", "w", stdout);
	int n, k; read(n), read(k);
	f[0][0] = res[0] = 1;
	for (int i = 1, now = 1, from = 0; i * (i + 1) / 2 <= k; i++, swap(now, from))
	for (int j = 0; j <= k; j++) {
		f[now][j] = 0;
		if (j >= i) {
			update(f[now][j], f[now][j - i]);
			update(f[now][j], P - f[from][j - i]);
		}
		if (j >= n + 1) update(f[now][j], f[from][j - n - 1]);
		update(res[j], f[now][j]);
	}
	init(n + k);
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= k; i++)
		update(ans, 1ll * res[i] * binom(n - 1 + k - i, k - i) % P);
	writeln(ans);
	return 0;
}