【校内训练2019-06-24】Epidemic

【思路要点】

• 若 $N,M$ 不互质，问题可以拆成 $gcd(N,M)$ 个等价的问题分别处理，考虑 $N,M$ 互质的情况。
• 若 $a=b=0$ ，显然答案为 $-1$ 。
• 否则，考虑疫苗的传播，若 $i$ 时刻交流的两个城市存在疫苗，那么 $i+N,i+M$ 时刻交流的城市也会存在疫苗，因此 $i$ 时刻能够传播到的范围为 $i+xN+yM(x,y\in \mathbb{N})$ 。
• 对于每个城市，我们关心的是 $i+xN+yM$ 模 $N$ 或 $M$ 的余数，以 $1$ 号城市群为例，第 $x$ 个城市最早被传播的时刻即为使得 $i+yM\equiv x(modN)$ 的最小的 $i+yM$ 。
• $0,1,2,\dots ,N-1$ 中的所有数按照 $0,MmodN,2MmodN,\dots ,(N-1)MmodN$ 的顺序形成了一个环，分别考虑每个关键点在环上的后继即可。
• 时间复杂度 $O((a+b)\times (LogN+LogM))$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
vector <int> a[MAXN];
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	int q = a / b, r = a % b;
	exgcd(b, r, y, x);
	y -= q * x;
}
ll calc(int n, int m, vector <int> a) {
	int x = 0, inv = 0;
	exgcd(n, m, x, inv);
	inv = (inv % n + n) % n;
	static pair <int, int> s[MAXN]; int tot = 0;
	for (auto &x : a)
		s[++tot] = make_pair(1ll * x * inv % n, x);
	sort(s + 1, s + tot + 1);
	ll ans = 0;
	for (int i = 2; i <= tot; i++) {
		if (s[i].first == s[i - 1].first) chkmin(s[i].second, s[i - 1].second);
		if (s[i].first - s[i - 1].first >= 2) chkmax(ans, (s[i].first - s[i - 1].first - 1ll) * m + s[i - 1].second);
	}
	if (s[1].first + n - s[tot].first >= 2) chkmax(ans, (s[1].first + n - s[tot].first - 1ll) * m + s[tot].second);
	return ans;
}
ll getans(int x, int y, vector <int> a) {
	return max(calc(x, y, a), calc(y, x, a));
}
int main() {
	freopen("epidemic.in", "r", stdin);
	freopen("epidemic.out", "w", stdout);
	int n, m; read(n), read(m);
	int g = __gcd(n, m);
	if (g >= MAXN) {
		puts("-1");
		return 0;
	}
	int cnt; read(cnt);
	while (cnt--) {
		int x; read(x);
		a[x % g].push_back(x / g);
	}
	read(cnt);
	while (cnt--) {
		int x; read(x);
		a[x % g].push_back(x / g);
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= g - 1; i++)
		if (a[i].empty()) {
			puts("-1");
			return 0;
		} else chkmax(ans, 1ll * g * getans(n / g, m / g, a[i]) + i);
	writeln(ans);
	return 0;
}