【校内训练2019-06-24】Epidemic

博客主要探讨疫苗传播问题的算法思路。当 N、M 不互质时拆成等价问题处理,考虑互质情况。若 a=b=0 答案为 -1,否则分析疫苗传播范围为 i+xN+yM。关心其模 N 或 M 的余数,按特定顺序形成环,考虑关键点后继。时间复杂度为 O((a+b)×(LogN+LogM))。

【思路要点】

  • N,MN,MN,M 不互质,问题可以拆成 gcd(N,M)gcd(N,M)gcd(N,M) 个等价的问题分别处理,考虑 N,MN,MN,M 互质的情况。
  • a=b=0a=b=0a=b=0 ,显然答案为 −1-11
  • 否则,考虑疫苗的传播,若 iii 时刻交流的两个城市存在疫苗,那么 i+N,i+Mi+N,i+Mi+N,i+M 时刻交流的城市也会存在疫苗,因此 iii 时刻能够传播到的范围为 i+xN+yM (x,y∈N)i+xN+yM\ (x,y\in\N)i+xN+yM (x,yN)
  • 对于每个城市,我们关心的是 i+xN+yMi+xN+yMi+xN+yMNNNMMM 的余数,以 111 号城市群为例,第 xxx 个城市最早被传播的时刻即为使得 i+yM≡x (mod N)i+yM\equiv x\ (mod\ N)i+yMx (mod N) 的最小的 i+yMi+yMi+yM
  • 0,1,2,…,N−10,1,2,\dots,N-10,1,2,,N1 中的所有数按照 0,M mod N,2M mod N,…,(N−1)M mod N0,M\ mod\ N,2M\ mod\ N,\dots,(N-1)M\ mod\ N0,M mod N,2M mod N,,(N1)M mod N 的顺序形成了一个环,分别考虑每个关键点在环上的后继即可。
  • 时间复杂度 O((a+b)×(LogN+LogM))O((a+b)\times (LogN+LogM))O((a+b)×(LogN+LogM))

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
vector <int> a[MAXN];
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	int q = a / b, r = a % b;
	exgcd(b, r, y, x);
	y -= q * x;
}
ll calc(int n, int m, vector <int> a) {
	int x = 0, inv = 0;
	exgcd(n, m, x, inv);
	inv = (inv % n + n) % n;
	static pair <int, int> s[MAXN]; int tot = 0;
	for (auto &x : a)
		s[++tot] = make_pair(1ll * x * inv % n, x);
	sort(s + 1, s + tot + 1);
	ll ans = 0;
	for (int i = 2; i <= tot; i++) {
		if (s[i].first == s[i - 1].first) chkmin(s[i].second, s[i - 1].second);
		if (s[i].first - s[i - 1].first >= 2) chkmax(ans, (s[i].first - s[i - 1].first - 1ll) * m + s[i - 1].second);
	}
	if (s[1].first + n - s[tot].first >= 2) chkmax(ans, (s[1].first + n - s[tot].first - 1ll) * m + s[tot].second);
	return ans;
}
ll getans(int x, int y, vector <int> a) {
	return max(calc(x, y, a), calc(y, x, a));
}
int main() {
	freopen("epidemic.in", "r", stdin);
	freopen("epidemic.out", "w", stdout);
	int n, m; read(n), read(m);
	int g = __gcd(n, m);
	if (g >= MAXN) {
		puts("-1");
		return 0;
	}
	int cnt; read(cnt);
	while (cnt--) {
		int x; read(x);
		a[x % g].push_back(x / g);
	}
	read(cnt);
	while (cnt--) {
		int x; read(x);
		a[x % g].push_back(x / g);
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= g - 1; i++)
		if (a[i].empty()) {
			puts("-1");
			return 0;
		} else chkmax(ans, 1ll * g * getans(n / g, m / g, a[i]) + i);
	writeln(ans);
	return 0;
}
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值