该博客介绍了如何通过指数型生成函数和牛顿迭代法解决有根仙人掌的圆方树计数问题。文章详细阐述了思路要点，包括子树大小的定义、生成函数的推导以及牛顿迭代的运用。最终，博主给出了O(NLogN)的时间复杂度解决方案，并提醒在计算总数时需要除以节点数N。
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【思路要点】
- 考虑对有根仙人掌的圆方树计数，定义子树大小为子树内圆点的个数。
- 令子树大小为 i i i 的圆点和方点各有 r i , s i r_i,s_i ri,si 个，则其指数型生成函数分别为
R ( x ) = ∑ i = 1 r i i ! x i , S ( x ) = ∑ i = 1 s i i ! x i R(x)=\sum_{i=1}\frac{r_i}{i!}x^i,S(x)=\sum_{i=1}\frac{s_i}{i!}x^i R(x)=i=1∑i!rixi,S(x)=i=1∑i!sixi- 稍加推导可得
R ( x ) = x e S ( x ) , S ( x ) = R ( x ) + R ( x ) 2 2 + R ( x ) 3 2 + ⋯ = R ( x ) + R ( x ) 2 2 − 2 R ( x ) R(x)=xe^{S(x)},S(x)=R(x)+\frac{R(x)^2}{2}+\frac{R(x)^3}{2}+\dots=R(x)+\frac{R(x)^2}{2-2R(x)} R(x)=xeS(x),S(x)=R(x)+2R(x)2+2R(x)3+⋯=R(x)+2−2R(x)R(x)2- 因此有
R ( x ) = x e R ( x ) + R ( x ) 2 2 − 2 R ( x ) R(x)=xe^{R(x)+\frac{R(x)^2}{2-2R(x)}} R(x)=xeR(x)+2−2R(x)R(x)2
x e R ( x ) + R ( x ) 2 2 − 2 R ( x ) − R ( x ) = 0 xe^{R(x)+\frac{R(x)^2}{2-2R(x)}}-R(x)=0 xeR(x)+2−2R(x)R(x)2−R(x)=0- 令 G ( R ( x ) ) = x e R ( x ) + R ( x ) 2 2 − 2 R ( x ) − R ( x ) G(R(x))=xe^{R(x)+\frac{R(x)^2}{2-2R(x)}}-R(x) G(R(x))=xeR(x)+2−2R(x)R(x)2−R(x) ，则 G ( R ( x ) ) = 0 G(R(x))=0 G(R(x))=0
- 考虑牛顿迭代解上述方程，令
R ( x ) ≡ R 0 ( x ) ( m o d x n ) R(x)\equiv R_0(x)\quad(mod\ x^n) R(x)≡R0(x)(mod xn)- 则有 G ( R ( x ) ) ≡ G ( R 0 ( x ) ) + ( R ( x ) − R 0 ( x ) ) G ′ ( R 0 ( x ) ) ≡ 0 ( m o d x 2 n ) G(R(x))\equiv G(R_0(x))+(R(x)-R_0(x))G'(R_0(x))\equiv0\quad(mod\ x^{2n}) G(R(x))≡
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