tree8的博客

本文研究了构造性模态逻辑CK和CD的博弈语义，提出了CK-WISs和CD-WIS的概念，并证明其完全完备性。进一步探讨了多森方阵（Došen Square）在直觉主义逻辑中的扩展问题，提出构造性逻辑CKD，该系统通过四个语义独立的模态□、◇、⊟、⧫避免了模态坍缩，保留了析取性质（DP），并具备有限模型性质与可判定性。文章还展示了CKD与其他直觉主义模态逻辑的关系，并展望了向CT、CS4逻辑的语义扩展、与轻线性逻辑博弈语义的联系以及与λ-演算的对应关系等未来研究方向。

本文探讨了构造性模态逻辑的博弈语义，介绍了模态竞技场中的顶点地址与奇偶性等基础概念，定义了视图和获胜无辜策略（WIS），并深入分析了CK-获胜无辜策略（CK-WIS）及其与LCK系统中公式可证性的对应关系。通过反序列化与序列化方法，建立了证明与策略之间的双向联系，并研究了策略的组合性及其操作步骤。文章还展示了如何利用策略组合简化复杂公式的证明过程，最后总结了核心成果并展望了在更广泛模态逻辑系统中的应用拓展、算法优化及多语义方法融合等未来研究方向。

本文探讨了直觉主义模态逻辑的嵌套序列系统与构造性模态逻辑CK的博弈语义。在直觉主义模态逻辑部分，介绍了高度保持可允许的结构规则及其在推导中的作用，提出了标记树序列与嵌套序列系统之间的相互转换定理，并展望了基于嵌套系统的证明搜索算法与决策程序的研究方向。在构造性模态逻辑CK部分，构建了基于模态竞技场的博弈语义模型，定义了获胜无辜策略及其约束条件，建立了与序列系统的完全完备对应关系，并展示了向逻辑CD扩展的可能性。研究成果为模态逻辑的证明论与语义学提供了新的方法与视角。

本文探讨了直觉主义模态逻辑中基于标记相继式的结构细化方法，通过引入传播规则消除传统结构规则（如(S_{n,k})），实现了向嵌套相继式系统的转换。文章定义了A-语法与推导语言、标记相继式系统及其语义，并提出传播图与传播路径的概念以支持传播规则(p♦)和(p□)的应用。通过引理证明结构规则与传播规则的可置换性，建立了细化标记系统IK(A)_L的完备性。进一步，定义了嵌套相继式的树形结构与上下文机制，给出了相应的嵌套系统推理规则。最后，通过翻译函数L_w和N在标记系统与嵌套系统之间建立对应关系，证明了二者在证明

本文介绍了一种为直觉主义模态逻辑构建更广泛适用嵌套序列系统的新方法。基于双关系模型和Horn-Scott-Lemmon公理，通过引入语法理论与结构细化技术，将Simpson的标记序列系统转化为具有优良证明论性质的嵌套序列系统。该系统具备可靠性、无切割完全性以及结构规则的高度保持可允许性，不仅解决了捕获直觉主义模态逻辑立方体之外逻辑形式化规则的开放问题，还为自动化推理、高效证明搜索和插值验证提供了坚实基础。

本文探讨了构造性模态逻辑CK和CCDL的终止推导规则及其对偶的反演规则，介绍了反序列的语义含义与反模型构建方法。通过注释技术从反演中提取有限邻域反模型，并分析了邻域模型向关系模型转换的可行性与复杂度问题。研究表明，反演系统具有终止性和完备性，适用于不可证明性的判定与模型生成。未来工作包括优化演算以匹配PSPACE复杂度上界、实现定理证明器以及研究小规模关系反模型的构造方法。

本文研究了构造性模态逻辑CK和CCDL的终止sequent演算与反驳演算，提出了基于G4风格的证明系统G4.CK和G4.CCDL，确保反向证明搜索的终止性，并证明了系统的可靠性与完备性。通过切割消除和结构规则可允许性分析，建立了演算与公理系统的等价性。进一步，文章定义了反驳演算，实现了从失败证明中提取邻域反模型的方法，凸显了邻域语义在构造性模态逻辑中的自然性和重要性。该工作为相关逻辑的决策程序与语义分析提供了有效工具。

本文介绍了无交替 μ-演算的聚焦证明系统 Focus^∞，通过表游戏框架证明了该系统的可靠性与完备性。系统基于轨迹方法和聚焦机制，将逻辑可证明性转化为博弈中的获胜策略，并利用 ν-轨迹确保无限分支的成功性。文章详细阐述了从证明结构到游戏策略的双向构造过程，提出了未来研究方向，包括简化证明、去除受保护公式限制、构造性切割消除、整理聚焦系统以及向其他逻辑变体的推广，为模态μ-演算的无交替片段提供了坚实的证明论基础。

本文介绍了无交替μ-演算的聚焦证明系统Focus与Focus^∞，通过引入注释机制（聚焦/非聚焦）构建结构化证明框架。系统结合表（tableau）与表游戏（tableau game），建立了证明可推导性、玩家获胜策略与公式有效性之间的等价关系。文章阐述了系统的可靠性与完备性，并展示了其在程序验证和模型检查中的应用潜力。此外，讨论了精简与渐进证明的规范形式，以及循环与无限证明的等价性，为自动化推理提供了理论基础。

本文研究了模态逻辑中HK∗circ + RC系统对于可均等框架条件C的完全性，通过构造规范模型与C-极大超序贯，证明了在无切割条件下系统的完全性。同时，提出了一种用于无交替μ-演算的焦点系统Focus∞，结合简单焦点机制实现无限循环证明，并证明其可靠性和完全性。文章进一步探讨了该系统在非可均等条件下的扩展、更具表达力的逻辑片段应用，以及与其他证明理论结合的可能性，为模态逻辑与μ-演算的证明论提供了新的理论基础与发展方向。

本文介绍了模态逻辑中的循环超矢列式演算系统，涵盖预备知识、无穷与循环证明系统构建、可靠性及无切割完全性证明。文章定义了基于克里普克模型的模态∗-公式语义，提出了HK*_inf + RC与HK*_circ + RC两类证明系统，前者通过跟踪条件确保无穷推导的可靠性，后者利用带注释超矢列式和后向边映射实现有限循环证明，并证明了其与无穷系统的等价性。同时分析了常见无穷证明搜索方法在该系统中面临的无限分支、跟踪复杂性和框架条件集成等挑战，最后总结了系统特性并展望了优化、扩展应用与自动化工具开发等未来方向。

本文研究了循环证明在统一插值和模态逻辑中的应用，提出通过正常JS证明构造无根基推导并生成有限JS推导的方法，进而得到统一插值。引入插值模板概念，将其应用于模态μ-演算及其片段，并探讨其在Gödel-Löb逻辑、双模拟量词逻辑BQL等系统中的扩展潜力。同时，研究了带主模态的单模态逻辑ML*的循环超相继式演算构造方法，基于简单与可均等框架条件实现了统一的证明系统构建。文章还分析了该方法在描述逻辑与知识表示中的潜在应用，并指出未来在降低复杂性、处理循环约束及拓展逻辑范围等方面的研究方向。

本文探讨了循环证明中统一插值的理论与实践，重点介绍了正常证明的定义、插值模板的构建方法以及在量词自由和含量化公式情况下的统一插值构造。通过递归定义和规则应用，提出了一种基于推导树的插值项生成机制，并详细阐述了插值项的验证过程，包括如何从重复叶节点提取不变量并构造模态方程系统。该方法为逻辑推理中的中间公式发现提供了系统化解决方案，适用于模态μ-演算等复杂逻辑系统。

本文研究了无穷行动逻辑与模态μ-演算中的证明理论与插值性质。在无穷行动逻辑方面，探讨了带指数扩展的系统复杂度，提出了!ACT⁻₍ω₎这一中间系统，并构建了基于* - 公平性的非良基证明系统，获得了Δ₁¹上界与Π₀² - 困难性下界。在模态μ-演算方面，提出了一种基于循环证明理论的纯证明论方法来构造统一插值项，利用JS证明系统和注释序列技术，实现了对统一插值的系统化构造。文章还展望了未来在复杂度精确刻画、证明系统扩展及方法推广等方面的研究方向。

本文研究了无穷行动逻辑中 $!ACT^{-}_{\infty}$ 与 $!ACT^{-}_{\omega}$ 系统之间的推导关系，通过嵌套归纳法证明了定理1，并分析了系统的复杂度特征。结果表明，$!ACT^{-}_{\omega}$ 的可推导性问题属于 $\Delta_1^1$ 类且为 $\Pi_0^2$-困难，其复杂度严格高于 $ACT_{\omega}$ 和 $!MALC$。文章还探讨了 *-消除技术在该系统中失效的原因，并通过示例说明了相关限制，最后提出了未来研究的方向。

本文研究了可证性逻辑与无穷行动逻辑中的割消除问题及相关系统的复杂度。在可证性逻辑中，基于反向证明搜索的终止性实现了GLS + (cut)系统的割消除，并探讨了不依赖辅助演算的直接方法。在无穷行动逻辑方面，分析了!ACTω系统的高复杂度（Π₁¹-完全），并聚焦于满足独立性约束的片段!ACT₋ω，构建了其基于非良基证明的形式化系统，证明了其具有Π₀²下界和Δ₁¹上界的中间复杂度，但不具备Palka的∗-消除性质。文章进一步展望了精确复杂度确定、语义研究、应用探索及证明技术改进等未来方向。

本文系统地研究了可证性逻辑中的切割消除问题，基于哥德尔-洛布逻辑GL的相继式演算GLS，通过引入受限版本PSGLS实现了终止性证明搜索。文章定义了关键概念如模态公式、相继式、推导与证明，并利用最大高度推导和强归纳法证明了加法切割规则在GLS中是可允许的。该结果不仅具有重要的理论意义，如支持一致性证明和逻辑完备性分析，还在自动化推理与定理证明工具中具备实际应用价值。全文还展示了在Coq中的形式化表达，为后续逻辑系统的机械化验证提供了基础。

本文基于Coq对可证性逻辑GL的切割消除进行了形式化与解构，分析了Brighton方法在相继式解释和重言式消除路径上的问题，对比了多种形式化方法的优劣。我们采用列表编码上下文并实现模块化的可推导性框架，支持子结构逻辑与程序提取，生成了可验证的Haskell切割消除程序。工作中发现了若干可改进之处，包括上下文编码方式、提取效率与输出可读性，并提出了使用多重集、Permutation库、树形打印及GUI等优化方向，旨在构建一个广泛适用的深度嵌入式证明理论库。

本文详细介绍了LNSKt逻辑系统的形式化构建，涵盖规则定义、可推导性编码、切割消除的证明及其在Coq中的实现。通过derrec框架实现模块化的推导表示，并利用Coq的归纳定义和提取功能，将切割消除定理自动转换为Haskell代码，实现了从有切割推导到无切割推导的自动化转换。文中还对比了Coq与Isabelle/HOL的实现差异，揭示并修正了原始证明中的错误，验证了方法的正确性与可靠性。结合示例推导与实际提取流程，展示了该系统在自动化定理证明中的应用潜力，为逻辑推理、程序验证等领域提供了可扩展的技术路径。

本文介绍了在Coq中对线性嵌套序列演算LNSKt的形式化编码与消去切割定理的构造性证明。通过将Goré和Lellmann的纸笔证明在Coq中实现，验证了其正确性并发现了多个错误。基于该形式化证明，成功从消去切割过程提取出可执行的Haskell程序，据知这是首个用于执行消去切割的提取程序。工作涵盖了公式、序列、LNS结构及规则的Coq建模，证明了交换引理，并实现了推导的无切割转换。代码已在Coq 8.8.2至8.10.2中开发与测试，为时态逻辑的自动化证明提供了可靠工具。

本文系统介绍了基于图神经网络（GNN）的多种自动定理证明算法，包括GNN条款评估、跳跃算法、学习推理组件和聚类方法，并对各算法的流程、特点及实验评估结果进行了详细分析。通过在Mizar等数学问题集上的实验表明，这些算法能有效提升证明效率与成功率。文章还总结了算法间的对比关系，探讨了其在数学证明、软件验证和AI推理中的应用前景，并提出了多算法融合、自适应参数调整等未来研究方向。

本文探讨了自动化定理证明系统在性能提升与策略优化方面的最新进展。重点介绍了SATCoP系统通过结合基子句处理、随机化、深度控制和模型引理等技术，在多个问题集上显著提升了求解能力；同时分析了ENIGMA系统如何利用图神经网络进行上下文感知的子句选择，并提出了跳跃式算法和基于学习的组件拆分算法两种改进变体，有效提高了证明效率。实验结果表明，这些新方法在解决问题数量、解决速度和独特性方面均优于传统方法。未来研究方向包括优化SAT求解器、融合Prolog技术、拓展SMT应用以及加强并行计算与上下文建模，推动自动化定

本文深入解析了基于SAT技术的一阶逻辑推理系统SATCoP，介绍了其核心机制如基例化、冲突驱动子句学习（CDCL）、随机化搜索与基于模型的引理。通过将一阶问题逐步实例化为命题逻辑并结合高效SAT求解器，SATCoP在TPTP等基准测试中显著提升了求解效率。文章还探讨了系统的实现细节、性能优势及在定理证明、模型检查等领域的应用前景，并指出了未来优化方向。

本文深入探讨了nanoCoP 2.0连接证明器在经典、直觉主义和模态逻辑中的应用，详细介绍了其策略调度、证明输出形式及在TPTP、ILTP和QMLTP等多个基准库上的实验评估结果。同时，文章分析了将SAT技术集成到一阶逻辑子句连接表系统中的方法与优势，包括提升证明效率、优化搜索控制和降低资源消耗。通过构建测试系统并进行对比实验，验证了该集成方案的有效性。最后，文章展望了未来改进方向，如增强反驳技术、拓展至更多模态逻辑以及融合机器学习技术，为逻辑证明领域的发展提供了新思路。

nanoCoP 2.0 是一个面向一阶经典逻辑、直觉主义逻辑和多模态逻辑的紧凑型连接证明器，基于非子句连接演算实现。它通过引入非子句矩阵、前缀系统与高效的Prolog编码，结合正则性、引理、受限回溯、猜想开始子句、子句重排序和策略调度等优化技术，显著提升了证明搜索的效率与可用性。该系列证明器包括用于经典逻辑的nanoCoP、直觉主义逻辑的nanoCoP-i和多模态逻辑的nanoCoP-M，支持多种模态系统如D、T、S4、S5及异构多模态逻辑，具备良好的扩展性与应用前景。

本文探讨了熵在引导定理证明器中的关键作用，通过五个实验系统分析了熵正则化对图神经网络（GNN）策略预测器性能的影响。实验表明，适当控制策略分布的熵（如使用熵系数α0.7）可显著提升证明成功率，在Mizar40数据集上比现有最佳结果提高17.4%。研究还发现，正确的推理顺序与适当的熵水平几乎可以复现大部分学习指导的效果，且熵正则化优于简单的温度调整方法。最终评估显示，基于GNN的plCoP系统在训练和评估集上均取得当前最优性能，验证了熵调控在自动定理证明中的核心地位。

本文探讨了最大熵强化学习在定理证明中的应用，重点分析了基于图神经网络（GNN）的策略引导方法。通过引入归一化熵和熵正则化技术，优化MCTS搜索过程中的探索与开发平衡，提升证明效率与成功率。文章回顾了rlCoP、plCoP和graphCoP等系统，并提出改进方案：采用单独训练的价值与策略GNN、扩展参数调制步骤的神经引导，并在训练中引入熵正则化以增强不确定性建模。实验部分验证了不同熵系数对证明性能的影响，结果表明熵正则化比温度调节更具针对性和有效性。最终总结指出，最大熵RL有助于避免策略过早收敛，提升定理证明

本文探讨了叠加演算中的冗余标准与简化规则，包括包容解调、AC可连接性和AC归一化规则，分析了它们在提升定理证明效率方面的优势，并通过iProver在TPTP库上的实验验证其有效性。同时，研究了推理选择中熵的作用，揭示了高熵策略在探索与利用平衡中的重要性，特别是在plCoP系统中集成图神经网络时，熵正则化显著提升了性能。最后展望了未来在简化规则扩展、熵优化及多技术融合方向的研究潜力。

本文深入探讨了叠加演算中的闭包冗余性概念及其在逻辑推理和定理证明中的应用。通过引入基于‘≻cc’排序的闭包冗余性，扩展了标准冗余性的局限，支持AC归一化和解调等简化操作。文章详细阐述了叠加演算的核心推理规则，并构建了一个基于收敛项重写系统的模型R∞，通过反证法与分情况讨论，证明了在闭包冗余性下叠加演算的反驳完全性。最后总结了该理论的实际应用价值及未来研究方向。

本文介绍了定理证明中的两项关键技术：lazyCoP系统与AC简化及闭包冗余的应用。lazyCoP结合懒参数调制与神经引导，通过余弦退火和热重启策略优化训练过程，并利用CUDA重实现和层融合提升推理效率。实验表明神经引导显著提高搜索成功率且不降低推理速度。另一方面，AC简化与闭包冗余为处理结合律和交换律公理提供了新方法，增强了叠加演算的完整性与效率。文章还探讨了未来在并行化、网络扩展和通用性提升方面的潜力，推动定理证明技术的发展。

lazyCoP是一个创新的一阶逻辑自动定理证明系统，结合惰性参数调制与神经引导搜索，通过异步策略评估消除学习启发式对推理率的影响。系统从自身证明经验中端到端学习策略，在M2k数学问题集上将证明成功率从64%提升至70%。其采用残差图卷积网络表示表列结构，支持灵活的推理规则与演算细化，具备高效、可扩展、自主学习等优势，适用于数学证明、软件验证和AI推理等领域。

本文介绍了FLoP系统——一种基于时间差分强化学习的定理证明引导方法，旨在解决指数级搜索空间中的长证明难题。FLoP通过课程学习和策略优化，在多个具有共享结构的定理数据集上实现了优异的泛化能力与高成功率，尤其在处理长证明和不完美训练信号时展现出优于传统方法和监督学习的鲁棒性。实验表明，FLoP在RA系列和LCL系列数据集上显著超越随机模型、饱和式证明器及MCTS类方法，验证了其在自动定理证明中的潜力。未来可通过算法优化、数据集扩展和技术融合进一步提升性能。

本文介绍了新型定理证明算法FLoP，该算法结合时间差分学习、近端策略优化（PPO）和课程学习，显著提升了在长证明任务中的泛化能力。FLoP通过将定理证明建模为马尔可夫决策过程，在无搜索情况下仍能高效生成证明，并在合成算术与逻辑演算数据集上展现出优越性能。文章详细阐述了FLoP的架构组件、实验结果及其在类比推理和多编码设置下的表现，同时探讨了其与现有证明器的对比及未来研究方向。代码与数据集已公开，为推动自动定理证明研究提供了有力支持。

本文探讨了输入/输出（I/O）逻辑与条件逻辑之间的联系，提出通过无切割相继式演算建立两者之间的对应关系，并介绍了标准与扩展相继式演算的等价性及其在多项式空间内的可判定性。文章还实现了基于扩展相继式的原型证明器IOCondProver，并引入了一种新的强化学习引导系统FLoP，旨在解决自动化定理证明中难以寻找长证明的问题。实验表明，FLoP能从极少训练数据中泛化，成功处理需要长推理链的问题，在结构化数据集上表现出与强大定理证明器相竞争的能力。未来工作包括扩展至更多I/O逻辑、适应直觉主义基础以及提升类比推理和

本文探讨了输入/输出逻辑（I/O逻辑）与条件逻辑之间的联系，提出基于相继式系统的证明论方法来实现对多种I/O逻辑的建模与自动化推理。通过引入内化I/O对的连接词>，构建了对应于不同I/O逻辑系统的相继式系统，并证明了其与经典命题逻辑扩展之间的等价性。文章详细分析了各类逻辑规则在相继式框架下的转换机制，建立了广义初始相继式、结构规则可允许性及切割规则可允许性等关键性质，最终实现了从I/O逻辑到条件逻辑的形式对应。该工作为道义逻辑和非单调推理的自动化提供了坚实的理论基础和可行的技术路径。

本文探讨了双边判断在非确定性语义下的证明搜索问题，提出基于Ψ-分析性的公理化方法与二维证明搜索算法Expand。通过引入一元BPN Σ-矩阵的四类规则模式，构建了可靠且完备的演算系统，并设计了可判定B-后承的递归搜索算法。文章分析了算法的运行复杂度，指出其在一般情况下为指数时间、特定条件下为多项式时间，并结合反模型构造、实际应用案例及与其他方法（如多位置相继式）的比较，展示了该框架在逻辑推理与模型验证中的优势。最后展望了在逻辑多元论、多维蕴涵关系及算法优化方面的未来研究方向。

本文探讨了非确定性语义下双边判断的证明搜索理论，涵盖命题语言、二维后果关系、二维非确定性矩阵及其语义解释，并介绍了B-语句的演算系统与树形推导机制。通过引入矩阵细化、判别器和演算的解析性概念，文章构建了一套完整的逻辑框架，支持高效的形式化验证与推理。研究还展示了如何通过添加规则实现矩阵的逐步细化，并利用判别器唯一表征真值，提升证明过程的可判定性与效率。

本文探讨了基于异或的后继逻辑系统GCL⊕及其在非确定性语义下的完备性问题，提出通过引入新的矩阵Mid⊕解决强完备性失效的问题，并扩展系统以获得相对于M−⊕的强可靠性和完备性。进一步，通过引入超后继增强表达能力，构建HGCL⋆⊕等系统，实现对经典逻辑连接词的支持。同时，研究双边判断在二维推导关系中的表现，利用非确定性逻辑矩阵进行分析公理化，设计了基于对称规则的二维Hilbert风格演算，并提出了有界证明搜索的递归决策算法，支持指数级与多项式级复杂度下的有效性判定。整体工作为逻辑系统的形式化、语义构造与自动化证

本文探讨了基于异或（exclusive-or）作为内部析取的相继式逻辑系统，提出并分析了两个Gentzen型演算系统GCL⊕和GCL*⊕。通过引入异或矩阵M⁻⊕，文章定义了相继式的语义解释与模型理论，并建立了相应的证明系统。GCL⊕保留了经典逻辑的部分结构规则，但表现出规则不可逆和非分析性问题；为此，改进系统GCL*⊕被提出，其除Cut规则外均具备可逆性，支持高效的相继式简化与有效性判定。文章还证明了系统的完备性与规则消除性质，并展示了该框架在自动推理、定理证明及人工智能知识表示中的潜在应用价值。最后展望了

本文探讨了限定摹状词理论在证明论与语义学方面的系统构建，包括切消定理、结构模型、可靠性和完全性结果，并介绍了基于异或的相继式系统对经典逻辑推理的新视角。通过扩展自由逻辑的表规则处理限定摹状词，以及在否定-等价片段中提升决策效率，两种逻辑框架分别在范围敏感的模态表述和高效推理机制上展现出优势。文章还分析了二者在理论与应用层面的对比与潜在联系，并展望其在人工智能与自然语言处理中的融合前景。