52、构造性模态逻辑的博弈语义

构造性模态逻辑的博弈语义

1. 模态竞技场基础概念

在模态逻辑的博弈语义中，有一些基础概念非常关键。一个公式 (F) 对应的模态竞技场 (\llbracket F\rrbracket) 里，顶点与公式 (F) 中的原子或模态词的出现相对应。原子顶点对应原子，模态顶点对应模态词。
- 顶点地址 ：对于模态竞技场 (G = \llbracket F\rrbracket) 中的顶点 (v)，其地址 (add_v) 是 (VG) 中唯一的模态顶点序列 (m_1, \cdots, m_h)，这个序列对应着公式树中连接 (v) 节点到 (F) 根节点路径上的模态词序列。若 (add_v = m_1, \cdots, m_h)，则 (add^k_v = m_k) 为其第 (k) 个元素，(h_v = |add_v|) 为 (v) 的高度，即地址的长度。
- 顶点奇偶性 ：定义 (d(v)) 为从 (v) 到 (\to) -根 (w \in \to R_G) 的 (\to) -路径长度。顶点 (v) 的奇偶性就是 (d(v)) 的奇偶性，用 (v^{\circ}) 和 (v^{\bullet}) 分别表示奇偶性。玩家 (\circ) 和 (\bullet) 只能选择对应奇偶性的顶点，但顶点所属模态词的奇偶性可能与移动的奇偶性不同。

模态竞技场通过公式同构 (f\sim) 来识别公式，即若 (F) 和 (G) 是两个公式，则 (F f\sim G \Leftrightarrow \llbracket F\rrbracket = \llbracket G\rrbracket)。

2. CK 的获胜策略