45、无交替 μ - 演算的聚焦系统

无交替 μ - 演算的聚焦系统

1. 预备知识

在模态 μ - 演算中，语言 $L_μ$ 的公式由以下语法生成：
$\phi ::= p | \neg p | \bot | \top | (\phi \vee \phi) | (\phi \wedge \phi) | \Diamond \phi | \Box \phi | \mu x \phi | \nu x \phi$
其中，$p$ 和 $x$ 取自固定的命题变量集合 $Prop$，并且在 $\mu x.\phi$ 和 $\nu x.\phi$ 形式的公式中，$\phi$ 里没有 $x$ 的出现。

不同类型的公式定义如下：
- 不动点公式 ：$\mu x.\phi$ 形式的公式称为 $\mu$ - 公式，$\nu x.\phi$ 形式的公式称为 $\nu$ - 公式，这两种类型的公式都被称为不动点公式。$\mu$ 和 $\nu$ 是不动点运算符，用 $\eta \in {\mu, \nu}$ 表示任意不动点运算符，且 $\overline{\eta} := \nu$ 如果 $\eta = \mu$，$\overline{\eta} = \mu$ 如果 $\eta = \nu$。
- 模态公式 ：$\Box \phi$ 或 $\Diamond \phi$ 形式的公式。
- 布尔公式 ：$\phi \wedge \psi$ 或 $\phi \vee \psi$ 形式的公式。
- 文字 ：$p$ 或 $\neg p$ 形式的公式，所有文字的集合记