16、基于异或的后继系统与双边判断的证明搜索

基于异或的后继系统与双边判断的证明搜索

在逻辑推理和证明理论的领域中，我们常常需要处理各种复杂的逻辑系统和语义结构。本文将探讨基于异或的后继系统以及双边判断在非确定性语义下的证明搜索问题。

1. 基于异或的后继系统

在基于异或的逻辑系统中，我们首先遇到了一些关于系统完备性的问题。

1.1 强完备性定理的失效

对于系统GCL⊕（或等价的GCL⋆⊕），其弱完备性由推论4给出，但对应的强完备性定理却不成立。例如，命题8指出{⇒p, ⇒¬p} ⊢M−⊕⇒q，但{⇒p, ⇒¬p} ̸⊢GCL⊕⇒q。这是因为{⇒p, ⇒¬p}在M−⊕中没有模型，而对于GCL⊕，如果S ⊢GCL⊕s，且命题变量q在S的每个元素中出现偶数次，那么q在s中也出现偶数次。

这一失效引发了两个问题：
- 问题A ：为GCL⊕（GCL⋆⊕）找到能使其获得强可靠性和完备性定理的语义。
- 问题B ：将GCL⊕或GCL⋆⊕扩展为一个相对于M−⊕具有强可靠性和完备性的系统。

1.2 问题A的解决：引入新的矩阵语义

为了解决问题A，我们引入了矩阵Mid⊕。它被定义为⟨V, D, O⟩，其中V = {1, 0}，D = {1}，˜⊕是经典等价关系，˜¬是恒等函数。

对于Mid⊕，有以下重要性质：
- 引理6 ：˜⊕满足结合律、交换律等一系列等式，如a˜⊕(b˜⊕c) = (a˜⊕b)˜⊕c，a˜⊕b = b˜⊕a等。
- 引理7 ：对