49、构造性模态逻辑的终止演算与反模型及嵌套序列系统

构造性模态逻辑的终止演算与反模型及嵌套序列系统

直觉主义模态逻辑允许使用模态算子进行直觉主义推理，在计算机硬件验证、函数式程序推理和编程语言定义等实际应用中发挥着重要作用。然而，现有的直觉主义模态逻辑证明系统大多存在局限性，仅适用于少数几种逻辑。本文将介绍一种新的方法，用于为直觉主义模态逻辑提供更广泛适用的嵌套序列系统。

1. 直觉主义模态逻辑概述

直觉主义模态逻辑是在直觉主义逻辑的基础上引入模态算子 $\Diamond$ 和 $\Box$ 而形成的逻辑系统。我们主要关注通过扩展直觉主义模态逻辑 IK 并添加 Scott - Lemmon 公理得到的逻辑。IK 的公式语言 $L$ 由以下 BNF 语法生成：
[
A ::= p \mid \bot \mid A \vee A \mid A \wedge A \mid A \supset A \mid \Diamond A \mid \Box A
]
其中，$p$ 是命题原子。我们使用双关系模型来解释这些公式。

双关系模型定义 ：双关系模型 $M = (W, \leq, R, V)$ 满足以下条件：
- $W$ 是一个非空的世界集合。
- 直觉主义关系 $\leq$ 是自反和传递的。
- 可达关系 $R$ 满足两个条件：
- 对于所有 $w, v, v’ \in W$，如果 $wRv$ 且 $v \leq v’$，则存在 $w’ \in W$ 使得 $w \leq w’$ 且 $w’Rv’$。
- 对于所有 $w, w’, v \in W$，如果 $w \leq w’$ 且 $wRv$，则存在 $v’ \i