47、构造性模态逻辑的终止演算与反模型

构造性模态逻辑的终止演算与反模型

1. 引言

直觉主义模态逻辑历史悠久，可追溯到 40 年代末 Fitch 的开创性工作，以及 60 年代 Prawitz 的研究。目前，存在两种不同的传统，分别引出了两类不同的系统。

第一类是直觉主义模态逻辑，由 Fischer Servi、Plotkin 和 Stirling 引入，后由 Simpson 系统化。其基本系统是模态逻辑 IK，旨在成为最小正规模态逻辑 K 的直觉主义对应。

第二类是构造性模态逻辑，主要源于其在计算机科学中的应用，如类型论解释（Curry - Howard 对应、带类型的 lambda 演算）、验证和知识表示等，同时也有其数学语义。该传统由 Wijesekera 提出的系统 CCDL（构造性并发动态逻辑）开始，随后 Bellin、De Paiva 和 Ritter 等人提出了逻辑 CK（构造性 K）作为构造性模态解释的基本系统。

从公理角度看，所有系统（包括 Simpson 的 IK）共享相同的 □ - 片段，但在菱形模态词（♦）的解释以及两种模态词之间的相互作用上存在差异。具体而言，CCDL 拒绝菱形模态词对析取的分配律：♦(A ∨ B) → ♦A ∨ ♦B，而 CK 进一步拒绝其零元版本：¬♦⊥，该式在 CCDL 中是有效的。

从证明理论角度，CK 得到了广泛研究，除了其 Gentzen sequent 演算外，还提出了自然演绎系统，这使得 CK 在扩展的 Lambda 演算中有了类型论解释。此外，还有嵌套 sequent 演算和聚焦 2 - sequent 演算等证明系统。对于 CCDL，也有其 tableau 演算。

从语义角度，CCDL 和 CK