48、构造性模态逻辑的终止演算与反模型

构造性模态逻辑的终止演算与反模型

在逻辑推理领域，构造性模态逻辑的研究一直是一个重要的方向。本文将深入探讨构造性模态逻辑 CK 和 CCDL 的终止推导规则以及反模型构建方法。

1. 规则推导与反演规则

在逻辑推导中，规则 Nec 可直接由规则 K□ 推出，而假言推理通常通过切割规则来模拟。在 C∗ 中，规则 L♦⊃ 已被推导得出，L□⊃ 的推导与之类似，K□、K♦ 和 N♦ 的推导则是标准的。

为了对非定理公式进行反驳，我们引入了反演规则。反演规则处理所谓的反序列，即 Γ ⇏Δ 这样的公式多重集对。直观上，反序列 Γ ⇏Δ 表示 Δ 并非由 Γ 推出，等价于 Γ ⊃ Δ 不成立。

构造性模态逻辑的反演规则 Ref.CK 和 Ref.CCDL 是对直觉主义逻辑反演规则的扩展，具体规则如下：
- Ref.CK := {init, initCK, L∧, R∧1, R∧2, L∨1, L∨2, R∨, L0⊃, L∧⊃, L∨⊃, L⊃⊃, L□⊃, L♦⊃, nip}
- Ref.CCDL := {init, L∧, R∧1, R∧2, L∨1, L∨2, R∨, L0⊃, L∧⊃, L∨⊃, L⊃⊃, L□⊃, L♦⊃, nip, nipCCDL}

这些规则的应用条件如下表所示：
| 规则 | 应用条件 |
| — | — |
| init 和 initCK | (i) Γ 仅包含命题变量、原子蕴含式和形如 ♦A ⊃B 的蕴含式；(ii) Δ 仅包含原子公式；(iii) 若 p ⊃ A ∈ Γ ，则 p ∈ Γ ；(iv) 若 Γ 包含蕴含式 ♦ A ⊃ B，则 ♦Γ = ∅；(v) Γ ∩