43、模态逻辑中的循环超矢列式演算

模态逻辑中的循环超矢列式演算

1. 预备知识

在后续内容中，我们固定一个可数的命题变量集合 $P$。

• 模态 ∗ - 公式的语法 ：模态 ∗ - 公式的语法 $ML^ $ 由以下规则生成：
  $\phi ::= p | \bot | \phi \to \phi | \square \phi | \square^ \phi$，其中 $p \in P$。这些公式通常在克里普克模型中进行解释，我们将模态 ∗ - 公式简称为公式。
• 克里普克框架和模型 ：
• 克里普克框架是一个二元组 $(S, R)$，其中 $S$ 是状态集合，$R \subseteq S \times S$ 是可达关系。
• 克里普克模型是一个三元组 $(S, R, V)$，其中 $(S, R)$ 是克里普克框架，$V: P \to \mathcal{P}(S)$ 是赋值函数。
• 公式在克里普克模型中的解释遵循常规方式，对于 $\square^ $ 有额外的解释规则：$S, s \vDash \square^ \psi \Leftrightarrow$ 对于所有满足 $sR^ t$ 的 $t \in S$，都有 $S, t \vDash \psi$，其中 $R^ $ 是 $R$ 的自反传递闭包。当模型 $S$ 在上下文中明确时，我们简记为 $s \vDash \phi$ 而非 $S, s \vDash \phi$。
• 框架条件 ： </