tree8的博客

本文探讨了图论中立方图的哈密顿数性质与分形几何中六角双棱锥分形的数独着色问题。在立方图方面，给出了不同偶数n对应的哈密顿数上界b的明确公式；在六角双棱锥分形方面，研究了其2级近似模型的数独着色，通过分解轴块与环块、利用D6对称群分析，得出同构意义下30个、非同构下140个解，并展望了高阶模型与在密码学、图像处理等领域的应用潜力。

本文研究了偶数阶连通立方图的哈密顿数范围，定义了h(3n)、min(h, 3n)和max(h, 3n)，并分析了不同阶数下立方图的最大与最小哈密顿数。通过引入图的块结构、叶块性质及闭生成行走构造，证明了特定条件下图的哈密顿性，并利用归纳法确定了一般情形下max(h, 314+2i)18+3i。同时探讨了j-哈密顿图的存在性及其构造方法，总结了小阶数下的哈密顿数取值范围，并给出了未来在图论结构与应用方向的研究展望。

本文探讨了计算机辅助创建不可能物体与不可能运动的方法，将其转化为线性方程组与不等式的可行性求解问题，并结合实例展示了从方程构建到物理模型制作的完整流程。同时研究了立方图的哈密顿数，分析了其在不同图类中的取值范围及相关定理，包括广义彼得森图的非哈密顿条件与哈密顿行走长度。文章还展望了该领域在视觉心理学和空间艺术中的应用前景。

本文探讨了计算机辅助创建不可能物体与不可能运动的理论与方法。通过分析图片的深度模糊性，建立了描述多面体可实现性的线性方程与不等式系统，并提出消除约束冗余性的策略以提升重构的稳健性。结合图论与网络流方法，实现了对约束系统一致性的高效判断。文章展示了如何将看似无法存在的‘不可能物体’转化为真实三维模型，并进一步拓展至‘不可能运动’的设计。该技术在艺术创作、科学研究和教育领域具有广泛应用前景。

本文综述了查特兰德-厄尔多斯定理在图论多个方向上的拓展研究，包括泛圈性、圈覆盖、长圈、支配圈、2-因子、生成树以及定理的局部化形式。文章总结了相关定理的主要结论，指出了若干未解决的猜想，如关于长圈下界的猜想2、2-因子分量数的猜想3、f-树存在的猜想4以及局部条件下的哈密顿性猜想5。同时，提出了未来研究的方向：猜想的证明与完善、条件的优化以及实际应用的探索，展示了该经典定理持续推动图论发展的活力。

本文系统探讨了图论中的多个核心主题，包括图G'与G*的独立集性质、平面轴平行矩形图的边集划分方法、大围长立方图支配数的上界研究及其构造性证明过程。深入分析了Chvátal–Erdős定理在哈密顿性和泛圈性方面的拓展成果，并讨论了其与Ore定理的关系。文章还总结了图论在计算机科学、交通运输和社交网络等领域的实际应用，提出了未来在泛圈性扩展、支配数优化及跨学科融合等方面的研究方向，展示了图论理论与实践的广泛价值。

本文研究了平面上轴平行矩形的染色问题，通过构造特定的矩形族和分析相关超图与图的结构，探讨了其染色性质。文章定义了两个对偶超图H(P,R)和H*(P,R)，重点分析了后者在不同参数下的色数界限，并给出了定理证明与推论。构造的核心是基于c进制字符串定义矩形族R(c,d)，并引入偏序关系和区间结构来刻画超边。主要结果包括：证明了对于任意k种颜色的染色，总存在一个点被r个同色矩形覆盖；提出了局部有限r重覆盖不存在k-分裂的推论；并通过图G*(c,d)和G'(c,d)的性质分析，揭示了其包含完全子图、色数下界及顶点划

本文介绍了一种基于分治法构建平面k-集多边形的算法，详细阐述了合并过程中移除与创建边的判定条件，重点分析了上边界线$C_{upper}$和下边界线$C_{lower}$的构建方法及对应算法实现。通过引理与证明确保算法正确性，并给出时间复杂度分析，整体构建复杂度为$O(n \log n + m \log_2 k \log(n/k))$。文章还探讨了该方法在模块化、可扩展性和并行处理方面的优势，指出了复杂度高估、数据结构维护等挑战，提出了去除$\log(n/k)$因子的优化目标，并展望了将Quick-Hull等

本文探讨了计算几何中的两个重要问题：获得非交叉凸循环所需的翻转次数和k-集多边形的分治构建方法。在翻转次数方面，通过归纳法证明了δ(n,3)的上界，并提出了δ(n)n−2的猜想；对于k-集多边形，介绍了基于分治策略的构造算法，包括边的移除、创建与合并过程，并给出了O(n log n + m log²k log(n/k))的算法复杂度。文章还总结了当前研究的局限性，并展望了未来在精确表达式推导和算法优化等方面的研究方向。

本文研究了图的超级边魔幻性与凸环翻转问题。在超级边魔幻性方面，探讨了双扇图、完全二部图及非同构分量不连通图的超级边魔幻亏数，给出了多个图类的上下界结果并提出若干猜想与开放问题。在凸环翻转方面，分析了将任意凸环转换为非交叉哈密顿环所需的最小翻转次数，得到了一般情形的上界和特殊结构下的下界及精确值。研究还展望了未来理论发展方向，并讨论了其在计算机图形学、网络设计和组合优化中的潜在应用。

本文研究了有向图分支覆盖的Bartholdi zeta函数及其在图结构分析中的应用，重点探讨了具有半自由作用的图的函数表达式。同时，深入分析了图的超级边幻强度与亏数，给出了鞭炮树和龙虾树的超级边幻性质及相关界值。通过构造顶点标号和计算孤立顶点添加数量，提出了判断超级边幻图与计算亏数的方法。未来研究可拓展至更复杂图类及Bartholdi zeta函数在网络科学、密码学等领域的应用。

本文系统研究了有向图的Bartholdi ζ函数，介绍了其定义及相关矩阵（如A_0、A_1、S、B、J）的构造，并给出了非对称有向图下该函数的分解公式。文章进一步探讨了图与有向图的覆盖理论，包括置换电压图和置换电压有向图的构建方法，提出了分支覆盖的概念及其形式化定义——分支n覆盖D_α^B，并详细推导了其邻接矩阵结构。最后，基于群表示理论，得到了分支n覆盖下Bartholdi ζ函数倒数的显式分解公式，辅以参数说明、计算流程图与关键表格，为有向图结构分析提供了理论支持与计算工具。

本文综述了数学领域中随机球面三角形、二分图的(3, 2)-轨道布局以及有向图分支覆盖的Bartholdi zeta函数的研究进展。涵盖了随机球面三角形的概率分布与极限行为、锐角三角剖分的分类与期望分析，二分图轨道布局的构造方法与优化结果，以及Bartholdi zeta函数的定义、定理和分解公式。文章总结了各领域的研究成果、应用前景及未来研究方向，展示了这些理论在计算机科学、物理学和社会网络等领域的潜在应用价值。

本文探讨了分数图论与随机球面三角形两个数学领域的研究进展。在分数图论方面，介绍了超图的分数覆盖与填充、分数着色（包括顶点和边着色）及其相关定理，并讨论了计算复杂性与未解问题；在随机球面三角形方面，给出了n维单位球面上三角形的七种分类及其出现概率的解析表达式，分析了高维极限下的收敛行为，并提及在锐角三角剖分中的应用。最后提出了未来在理论深化与跨领域应用方面的研究方向。

本文介绍了图论中的快速斜划分识别算法与分数图论的多个核心研究方向。首先提出一种可在O(n + m)时间内识别斜割集的高效算法，并通过mermaid流程图展示其逻辑结构。随后系统阐述了分数匹配、分数哈密顿图、分数(g,f)-因子及超图的分数覆盖与填充等概念，涵盖关键定理与线性规划方法。文章还总结了当前未解决的问题，如绑定数与分数可扩展性的关系、分数哈密顿图的充要条件等，并探讨了其在网络设计、调度问题和生物信息学中的实际应用，展望了分数图论未来的发展方向。

本文研究了平面点集中关于不相交空凸子集的若干结论，包括特定组合下的极值结果及未确定范围，并探讨了图的斜划分问题。重点介绍了斜划分的判定算法，分为T-割集检查与非T-割集情况下的辅助图构建方法，利用团割集树和关键引理实现高效搜索。给出了详细的算法流程、理论证明与时间复杂度分析，整体算法复杂度为O(n^4m)，为图的结构性分析提供了有效工具。

本文研究了图论中的拉姆齐数和平面点集的空凸子集问题。在图的拉姆齐数方面，确定了多个相同星图与小圈图的拉姆齐数，包括R(S_8, C_4) 10以及R(kS_{1+p}, C_4)的精确值（p ≥ 3, k ≥ 2）。在平面点集空凸子集方面，改进了n(4,5)的上界至13，提高了n(5,5)的下界至17，并确定n(1,2,3,4,5)15。这些成果丰富了图论与组合几何的理论体系，为网络设计、计算机图形学及地理信息系统等应用领域提供了理论支持。

本文探讨了图论与组合数学中的三个核心研究方向：多格骨牌、多菱形和多六边形的铺砌枚举问题，分析了不同瓷砖类型产生的对称群及其基本域特性；研究了树结构上的‘熄灯谜题’，提出了可解树的判定方法，通过修剪操作简化树结构并判断其可解性；进一步探讨了星图与小循环的拉姆齐数，给出了具体结果如 R(S₈, C₄) 10，并介绍了相关特殊图结构。这些研究深化了对图的结构与性质的理解，具有理论价值和实际应用潜力。

本文探讨了多边形收缩的数学性质及其收敛行为，并重点研究了具有3重、4重或6重旋转对称性的等面铺砌问题。通过改进的算法，系统地枚举了作为p4、p3和p6等面铺砌基本域的多格骨牌、多钻石和多六边形，分析了各类瓷砖的生成步骤、面积公式与对称特性。文章还提出了开放性问题，讨论了算法效率与实际应用前景，展示了在建筑设计、艺术与计算机图形学中的潜在价值。

本文系统探讨了四边形、五边形和六边形的无限坍缩条件与几何特性。研究表明，四边形无限坍缩需满足对边长度之和相等且相邻边不等；五边形在无直顶点时可诱导出无限坍缩的四边形，而带直顶点的五边形可通过构造实现无限坍缩；六边形在满足特定边长与对称条件下也可无限坍缩。文章进一步总结了不同多边形的坍缩规律，并分析了其在计算机图形学与机器人路径规划中的应用前景，提出了未来研究方向。

本文综述了简单多边形中路径计算与多边形收缩的相关研究。在路径计算方面，介绍了MOD-SSSP算法的基本步骤、核心引理及其时间空间复杂度，并展示了其在机器人导航、GIS和游戏开发中的应用。在多边形收缩方面，阐述了收缩与口袋翻转的概念，回顾了Erdős和Wegner猜想的研究进展，总结了多边形收缩的几何性质及不同边数多边形的收缩行为。文章还探讨了两者之间的联系与应用差异，并对未来算法优化、复杂多边形处理及实际应用拓展进行了展望。

本文探讨了图论中的重要定理及其在计算几何中的应用，重点研究在简单多边形内计算从起始点到终点的无自相交简单路径问题。文章介绍了一个基于金字塔图的新算法MOD-SSSP，该算法通过构建点集的可见性关系和3-捷径自由路径结构，实现了优于传统动态规划方法的时间和空间复杂度，尤其在大规模数据下表现更优。此外，该算法可输出多条合法路径，并适用于多边形生成等实际场景。未来方向包括算法优化及在复杂障碍物和三维空间中的扩展研究。

本文系统研究了(n, m)图的森林数性质，涵盖图论基础概念、森林数的定义与插值性、上下界极值结果及其推导过程。通过引入图参数、Turán定理和结构引理，分析了不同图类中森林数的最小与最大取值规律，并进一步探讨了连通图情形下的森林数特征。结合构造性证明与优化策略，给出了mn(a)和cmn(a)的精确边界及最优图结构，为图的结构性质研究提供了理论支撑。

本文深入探讨了图论与平面铺砌中的多个核心问题。在平面铺砌方面，研究了特定等面铺砌的三色性、叶点坐标的互质性，并通过仿射变换推广了相关定理；分析了四面体展开图的铺砌色数，提出了色数不超过三的猜想；引入了自复制瓷砖的概念，构造了收敛于分形边界的极限图形序列。在图论方面，研究了具有相同度序列的图之间的变换，利用2-交换操作和新图的红蓝染色方法，给出了最小变换次数的精确表达式 r(G,H) - p(G,H)，并提供了上下界证明。文章还展示了这些理论在艺术设计、计算机图形学和网络优化中的潜在应用，并展望了未来在理论深

本文探讨了多边形的变换及其在特定等面铺砌中的染色问题。首先分析了14种可铺砌平面的凸五边形，重点研究1-6型五边形如何通过切割与旋转变换为三角形或四边形，并讨论2型及其他类型在具有线对称时的变换特性。随后引入双覆盖正方形及其展开的概念，结合图论方法研究由展开瓷砖构成的铺砌结构，证明其可被3-染色，即色数不超过3。通过定义、引理和命题系统地揭示了多边形变换与平面铺砌染色之间的内在联系，为几何铺砌理论提供了深入见解。

本文围绕2007年在京都大学举办的国际会议，探讨了计算几何与图论中的多边形变换问题，重点研究Dudeney变换及其在凸多边形间的等价关系。文章证明了面积相同的三角形、四边形、特定类型的五边形和六边形均可通过Dudeney变换相互转换，统归为D-等价类。通过一系列几何变换步骤，如将多边形逐步转化为平行四边形、矩形和正方形，建立了不同形状间的等价路径，并利用mermaid流程图直观展示变换过程。研究涵盖瓷砖多边形的分类与性质，提出未来在计算机图形学与材料科学中的潜在应用方向。