15、基于异或的相继式系统

基于异或的相继式系统

在逻辑推理和证明系统中，相继式系统是一种重要的工具。传统的经典逻辑相继式系统通常使用包含性析取（inclusive disjunction）作为内部析取，但本文将探讨如果选择异或（exclusive - or）作为内部析取，会得到什么样的演算系统。

1. 基本概念

• 相继式的解释 ：对于每个相继式 (s = \phi_1, \ldots, \phi_n \Rightarrow \psi_1, \ldots, \psi_k)（其中 (n + k > 0)），可以用公式 (\neg\phi_1 \oplus \cdots \oplus \neg\phi_n \oplus \psi_1 \oplus \cdots \oplus \psi_k) 来解释。空相继式 (\Rightarrow) 可以解释为 (\neg(\neg P_1 \oplus P_1))。
• 矩阵的定义 ：
  • 对于语言 (L) 的矩阵是一个三元组 (\langle V, D, O\rangle)，其中：
    • (V) 是一个非空的真值集合。
    • (D) 是 (V) 的一个非空真子集，其元素称为 (V) 的指定元素。
    • (O) 是一个函数，它将每个 (n) 元连接词 (\star) 与一个 (n) 元函数 (\tilde{\star}: V^n \to V) 关联起来。
• 赋值的定义 <