50、直觉主义模态逻辑的嵌套相继式：结构细化方法

直觉主义模态逻辑的嵌套相继式：结构细化方法

1. 推导与语言的定义

首先，我们引入一些基础的定义。设 $g(A)$ 是一个 $A$ - 语法。在 $\Sigma^ $ 中的两个字符串 $s$ 和 $t$ 之间的一步推导关系 $\rightarrow_{g(A)}$ 成立，记作 $s \rightarrow_{g(A)} t$，当且仅当存在 $s’, t’ \in \Sigma^ $ 和 $\langle?\rangle \rightarrow r \in S$ 使得 $s = s’\langle?\rangle t’$ 且 $t = s’rt’$。推导关系 $\rightarrow_{g(A)}^ $ 被定义为 $\rightarrow_{g(A)}$ 的自反传递闭包。对于两个字符串 $s, t \in \Sigma^ $，我们称 $s \rightarrow_{g(A)}^ t$ 为从 $s$ 到 $t$ 的推导，其长度定义为在 $g(A)$ 中从 $s$ 推导出 $t$ 所需的最少一步推导次数。最后，对于一个字符串 $s \in \Sigma^ $，相对于 $g(A)$ 的 $s$ 的语言定义为集合 $L_{g(A)}(s) := {t | s \rightarrow_{g(A)}^* t}$。

2. 标记相继式系统

我们引入辛普森标记相继式系统的等价变体，用于直觉主义模态逻辑。我们使用 $L_{\square \diamond}(A)$ 来表示标记系统，这里的系统是相对于一组公理 $A$ 定义的。与辛普森原始系统的唯一区别是，我们将一些规则前提中的主公式进行了复制，这一微小变化将有助于后续的工作。