42、循环证明中的统一插值及相关模态逻辑研究

循环证明中的统一插值及相关模态逻辑研究

1. 循环证明推导统一插值

在证明过程中，首先固定满足要求的 $\Delta$ 以及由引理 3 给出的正常 JS 证明 $P \vdash \Gamma \Rightarrow \Delta$。通过以下两个步骤得到推导 $P_I \vdash I\Gamma \Rightarrow \Delta$：
1. 转换为无根基推导 ：将 $P$ 展开，把每个前件替换为引理 3 给出的相应预插值公式，修正顶点之间的“左”规则，并相应调整每个顶点的控制，从而将 $P$ 转换为具有所需根sequent 的无根基“推导”$P^{\omega}_I$。
2. 标记重复叶子 ：按照正常证明的注释策略，$P^{\omega}_I$ 中的每个无限路径都包含一个重复的注释sequent，可将其标记为重复叶子，进而得到有限的 JS 推导 $P_I$。

接下来需要证明 $P_I$ 是一个证明。设 $l \in P_I$ 是一个重复叶子，其同伴为 $c_l \in P_I$。将 $[c_l, l] {P_I}$ 追踪到 $T {\Gamma}$ 上，会得到 $T_{\Gamma}$ 的重复叶子的 $\leadsto$-循环 $l_0 \leadsto l_1 \leadsto \cdots \leadsto l_n \leadsto l_0$。根据命题 1，可假设对于每个 $i \leq n$ 有 $l_0 \preceq l_i$ 且 $p_{l_0} = \min{p_{l_i} | i \leq n}$。
- 若 $p_{l_0}$ 为奇数，那么 $l$ 是一