20、从输入/输出逻辑到条件逻辑：基于相继式与证明器

从输入/输出逻辑到条件逻辑：基于相继式与证明器

在逻辑推理领域，输入/输出（I/O）逻辑和条件逻辑有着重要的地位。本文将探讨如何通过相继式将I/O逻辑与条件逻辑联系起来，同时介绍相关的定理证明方法和工具。

I/O逻辑与条件逻辑的联系

在特定的系统中，如果(¬A ≼¬X)是可推导的，那么它通常是规则R1,n应用的结论。由于前提是纯命题的，它们可以在Gderiv⁺₃系统中推导得出。利用命题规则的可逆性，我们可以去除否定符号，然后应用规则RIn。通过定理12，我们可以得出完整的等价关系。

这表明I/O逻辑deriv⁺₃可以看作是条件逻辑V的扁平模态霍恩片段。通过明确公式(¬A ≼¬X)的真值条件，我们可以基于[15]中的球模型为deriv⁺₃提供一种替代的语义解释。

定理证明

可判定性与复杂性

本文引入的无切割相继式演算带来了一个直接的好处，即我们可以立即获得一种替代的可判定性和复杂性证明。

定理15指出，所有考虑的相继式系统中的可推导性在多项式空间内是可判定的。证明过程基于标准的反向证明搜索论证，例如[11, Thm. 2.7.8]中的通用复杂性结果。对于包含不可推导性陈述的演算，我们只需翻转这些陈述的结果。

由于I/O对不包含嵌套运算符，使用我们的相继式演算解决I/O逻辑中的蕴涵问题的复杂性降至多项式层次结构的ΠP₃类。然而，由于这仍然高于[31]中得出的最优coNP边界，我们在此不详细讨论。

相继式演算的实现

在实现我们的演算时，存在一个次优因素，即结论中主公式的数量是无界的，并且与模态逻辑K的规则不同，左侧主公式的顺序至关重要。