25、叠加演算中的AC简化与闭包冗余性

叠加演算中的AC简化与闭包冗余性

在逻辑推理和定理证明领域，叠加演算（Superposition Calculus）是一种强大的工具。本文将深入探讨叠加演算中的一些关键概念，包括闭包冗余性（Closure Redundancy）以及相关的引理和定理，同时构建一个模型来证明叠加演算在闭包冗余性下的反驳完全性。

基本概念与引理

在开始讨论模型构建和冗余性之前，我们先了解一些基本的概念和引理。

• 字面闭包的比较 ：考虑字面闭包 $(f(x) ≈a) · x/a$ 和 $(f(a) ≈b) · id$，在 ‘≻l’ 中，左边表示的字面量大于右边的，但在 ‘≻lc’ 中，左边的闭包小于右边的。如果这是两个单位子句，这也是 ‘≻cc’ 的一个例子。
• 引理 4 ：$tρ · σ ⪰tc t · ρσ$，对于 ‘≻lc’ 和 ‘≻cc’ 也有类似结论。特别地，$tσ · id ⪰tc t · σ$ 。证明基于定义和 $tρ ⊒t$ 这一事实。
• 引理 5 ：$t · σ ≻tc s · id ⇔tσ ≻t s$，对于 ‘≻lc’ 和 ‘≻cc’ 也有类似结论。
• 引理 6 ：‘≻tc’ 具有性质 $l ≻t r ⇒s[l] · θ ≻tc s[l →r] · θ$，对于 ‘≻lc’ 和 ‘≻cc’ 也有类似结论。

有时，当上下文明确时，我们会省略下标，分别用 ‘≻t’、‘≻l’、‘≻c’ 来比较项、字面量和子句，用 ‘≻tc’、‘≻l