36、基于Coq的可证性逻辑切割消除证明的形式化与解构

基于Coq的可证性逻辑切割消除证明的形式化与解构

1. 引言

命题模态可证性逻辑是在基本正常模态逻辑K的基础上，通过添加公理将□连接词解释为在皮亚诺算术中的“可证性”。常见的可证性逻辑变体有GL、Go和Grz，它们分别具有特定的特征公理。

名称	特征公理
GL	□(□p → p) → □p
Go	□(□(p → □p) → p) → □p
Grz	□(□(p → □p) → p) → p

虽然“可证性”的解释已被广泛理解，但这些逻辑的证明理论却十分复杂且存在一定争议。长期以来，人们基于切割公式的大小和前提推导的高度来证明各种相继式演算中的切割可允许性。然而，对于模态可证性逻辑GL的标准基于集合的相继式演算GLS，这些常规方法起初并不足以证明切割消除。Valentini引入了一个名为“宽度”的新度量，通过对大小、高度和宽度进行三重归纳，证明了GLS的切割消除。但曾有人错误地声称Valentini的证明存在漏洞，随后多位作者提供了替代证明，最终问题得以解决，所有证明也通过交互式定理证明器Isabelle/HOL得到验证。

近期，Brighton为GLS提供了另一种切割可允许性证明，该证明显著简化了现有方法。他采用双重归纳，以传统的切割公