34、形式化证明与线性嵌套序列演算中的消去切割

形式化证明与线性嵌套序列演算中的消去切割

1. 引言

逻辑推导的证明演算有多种传统形式，包括希尔伯特演算、自然演绎、序列演算和表格演算等。近年来，还出现了显示演算、标记序列和嵌套序列演算等更复杂的形式。每种形式都有其优缺点，如表达能力、复杂性、易用性和哲学动机等。

以时态逻辑系统为例，之前为满足消去切割性质而提供序列演算的尝试均告失败，之后出现了更复杂的显示演算、嵌套序列和标记序列等系统。Goré和Lellmann提出了一种更简单的演算LNSKt，使用线性嵌套序列（LNS）来处理最小时态逻辑Kt，该演算无需其他复杂系统中的大量机制，且是无切割系统，他们还证明了切割可允许性。

然而，切割可允许性的证明通常“情况繁多”，有许多相似情况，且常“留给读者”。Goré和Lellmann的证明也不例外，涉及四个子情况的复杂同时归纳。为验证其正确性，可将其形式化到现代交互式证明助手中。

Dawson和Goré曾在Isabelle/HOL中给出了一个通用的可推导性框架的优雅嵌入，但他们使用的是Isabelle/HOL 2007，要在现代Isabelle中使用需要完全重写，且可能无法实现。因此，我们将这项工作移植到Coq，并进行了调整，以处理真正的子结构概念，如交换。我们扩展了这个Coq框架，对线性嵌套序列和LNSKt进行编码，并在Coq中基于原始的纸笔证明证明了标准的结构证明理论定理，直至切割可允许性。

在Coq中构造性地证明消去切割定理，使我们能够将该过程提取到一个Haskell程序中，该程序可以从带有切割的推导中生成无切割的推导。由于消去切割的完整证明在纸笔环境中就已经很庞大，形式化过程中又出现了额外情况，因此这个定理非常适合验证，尤其是我们还发现了多