14、限定摹状词理论的证明论、语义学及基于异或的相继式系统

限定摹状词理论的证明论、语义学及基于异或的相继式系统

1. 限定摹状词理论相关内容

1.1 切消定理

在 CPFI 系统中，有切消定理：对于 CPFI 中的每一个演绎，都存在一个无切的演绎。该定理通过对证明的度进行归纳，并对最高度的切公式的数量进行辅助归纳，结合右归约引理和左归约引理得出。

1.2 CPFI 的语义

为了给 CPFI 提供语义，对系统进行了如下修改：
- 允许自由变量 x, y, z 等出现在公式中。
- 参数被当作常量处理，若常量在演绎中以参数形式出现，则它可以充当参数的角色，即满足 (R∀)、(RI) 和 (LI1) 中的限制条件，自由变量在这些规则中的限制与参数相同。
- 对于本章内容，将 ⇒ 左右两侧视为句子集合而非多重集。

修改后的系统与原系统显然是等价的。规则 I 能保证在 Ix[A, B] 的情况下 A 的唯一性，但不能保证其存在性。例如，从 (LI2) 可直接得出 Ix[A, B], Axₐ, Ax_b ⇒ a = b，即任何 A 都是相同的；若 Axₐ 为假，无论 a 是什么，都有 Axₐ ⇒ ⊥，根据 (LI1) 可得 Ix[A, B] ⇒ ⊥。但规则无法确定唯一的 A 是否存在。反之，要推导出 Ix[A, B]，需要一个唯一的且是 B 的 A，但不要求其存在。

采用两个域的流行提议，一个内域和一个外域，内域是存在对象的域，全称量词在该域上取值，且 ∃! 在此域上为真，外域是“非存在”对象的域，内域是外域的子集。

结构 A 的定义

结构 A 是一个从 CPFI 语言 L 的表达式到元素、（可能为空的）子集