41、循环证明中的统一插值：理论与实践

循环证明中的统一插值：理论与实践

1. 引言

在逻辑推理和证明系统中，统一插值是一个重要的概念。它有助于在不同的逻辑公式之间找到合适的中间公式，从而简化推理过程。本文将深入探讨统一插值的相关理论，包括正常证明的定义、统一插值的陈述以及插值的构造和验证等方面。

2. 正常证明的定义

一个 JS 证明 (P) 被定义为正常证明，需要满足以下条件：
1. 弱化规则的唯一应用是稀疏规则。
2. (LMod) 或 (RMod) 仅在特定情况下允许使用，即（参考图 1 中的规则形式）(\Pi) 仅由 (\top)、(\langle\cdot\rangle) - 公式和 ( [c] ) - 公式（(c \neq a)）组成，(\Sigma) 仅由 (\bot)、([\cdot]) - 公式和 (\langle c \rangle) - 公式（(c \neq a)）组成。
3. 任何作为公理实例的相继式都是叶节点。
4. 在 (L\mu) 和 (R\nu) 的实例中，(x) 是 (NX) 中第一个不在 (\Theta) 中出现的名称。
5. 如果 (P) 中的相继式 (\Theta : \Gamma \Rightarrow \Delta) 可以被实现为 (LThin)、(RThin)、(LReset) 或 (RReset) 实例的结论，那么该相继式就是 (P) 中此规则的结论，且稀疏规则优先于重置规则。
6. (P) 中由相同相继式标记的任何两个非重复顶点都是相同规则实例化的实例。

基于此，有定理表明：一个封闭、命名良好且受保护的相继式 (\Gamma \Rightarrow \Delta) 是有效的，当且仅当存