46、无交替 μ - 演算的聚焦系统

无交替 μ - 演算的聚焦系统

1. 定理基础与推论

在逻辑推理中，有几个重要的定理和推论为后续的证明奠定了基础。
- 定理 4（充分性） ：设 (T) 是一个针对序列 (\varPhi) 的表。那么反驳者（分别地，证明者）在 (G(T)) 中有获胜策略，当且仅当公式 (\varPhi) 是可反驳的（分别地，有效的）。
- 推论 1 ：设 (T) 和 (T’) 是针对同一序列的两个表。那么证明者在 (G(T)) 中有获胜策略，当且仅当她在 (G(T’)) 中有获胜策略。

这个推论表明，对于同一序列的不同表，证明者的获胜策略具有一致性，无论使用哪个表进行推理，只要存在一个表中证明者有获胜策略，那么在其他表中也必然存在。

2. 系统的可靠性证明

为了证明系统的可靠性，我们需要证明定理 5。
- 定理 5 ：设 (\varPhi) 是某个序列。如果 (\varPhi) 在 (Focus^{\infty}) 中是可证明的，那么存在某个针对 (\varPhi) 的表 (T)，使得证明者在 (G(T)) 中有获胜策略。

为了证明这个定理，我们首先需要适应从表到 (Focus^{\infty}) 证明的轨迹概念。
- 定义 9 ：设 (\Pi = (T, P, \varSigma, R)) 是 (Focus^{\infty}) 中的一个精简且渐进的证明。对于所有满足 (Puv) 的节点 (u, v \in V)，我们通过以下情况区分来定义主动轨迹关系 (A_{u