38、可证性逻辑与无穷行动逻辑的割消除及复杂度研究

可证性逻辑与无穷行动逻辑的割消除及复杂度研究

在逻辑研究领域，可证性逻辑和无穷行动逻辑是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个领域中的割消除问题以及相关逻辑系统的复杂度。

可证性逻辑的割消除

在可证性逻辑中，割消除是一个关键问题。通过对GLS + (cut)系统的研究，我们发现可以利用反向证明搜索的终止性来实现割消除。具体来说，证明了GLS + (cut)系统中任何最顶层的割都是可消除的，通过迭代这一论证过程，还能实现整个系统的割消除。

这种证明技术最早由Brighton提出，其独特之处在于反向证明搜索的终止性与语义完全性证明相近，而语义完全性证明通常比割消除证明更容易实现。这使得我们有必要研究该技术在其他逻辑系统中的适用性，如Go逻辑或直觉主义GL逻辑。

虽然有人可能会质疑，如果在使用该技术之前需要先证明语义无割完全性，那么我们已经知道每个割实例都是可允许的，使用该技术的意义何在。但实际上，引入PSGLS是为了明确终止性证明搜索在论证中的作用，并表明回归树这一额外概念并非必需。而且，我们并不需要证明PSGLS对于我们的目的是完全的。

此外，还可以直接建立割消除，而不依赖于像PSGLS这样的辅助证明演算。通过分离GLS推导中也是PSGLS推导的子集，可以使用该子集上的最大高度来定义归纳度量，并相应地调整证明。

无穷行动逻辑及其扩展

基本概念

无穷行动逻辑（ACTω）可以看作是乘法 - 加法Lambek演算（MALC）的扩展，引入了由ω - 规则控制的Kleene星号运算。ACTω的定理集不是递归可枚举的，它是Π₀¹ - 完全的。

MALC是一种著名的子