37、可证性逻辑的切割消除形式化与解构

可证性逻辑的切割消除形式化与解构

1. 预备知识

1.1 命题变量与模态公式

设 $V = {p, q, r, …}$ 是一个无限的命题变量集合。模态公式由以下语法定义：
$A ::= p \in V | \bot | A \to A | \square A$
我们使用最小的连接词集合，因为其他连接词可以由这些连接词定义。

1.2 公式相关定义

• 公式大小 ：公式的大小由其包含的符号数量定义。
• 盒装公式 ：如果一个公式 $A$ 的主连接词是 $\square$，则称其为盒装公式。
• 盒装多重集 ：只包含盒装公式的多重集。
• $\bigotimes X$ ：对于集合 $X = {A_1, …, A_n}$，定义 $\bigotimes X = {A_1, \square A_1, …, A_n, \square A_n}$。
• 子公式集合 ：用 $Sub(A)$ 表示公式 $A$ 的子公式集合，用 $Sub(X)$ 表示集合 $X$ 中所有公式的子公式集合。

1.3 逻辑系统

• 基本正常模态逻辑 $K$ ：$K$ 的希尔伯特演算扩展了经典命题逻辑的希尔伯特演算，增加了公理 $\square(p \to q) \to (\square p \t