39、无穷行动逻辑的非良基证明相关研究

无穷行动逻辑的非良基证明相关研究

1. 定理 1 的证明

在逻辑推理中，我们关注从 $!ACT^{-} {\infty}$ 到 $!ACT^{-} {\omega}$ 的推导方向。设 $\Psi \vdash C$ 是在 $!ACT^{\sim} {\infty}$ 中可推导且满足独立性约束的序列。我们采用嵌套归纳法进行证明，外层归纳参数是 $\sigma(\Psi \vdash C)$，即该序列的 * - 秩；内层参数是 $h_0$，即其在 $!ACT^{\sim} {\infty}$ 中证明的 0 - 片段的高度。
- 情况 1 ：若 $\Psi \vdash C$ 形式为 $\Gamma, A^ , \Delta \vdash C$。根据引理 1，对于任意 $n \geq 0$，$\Gamma, A^n, \Delta \vdash C$ 是可推导的。且这些序列的 * - 秩更小，因为 $A^n$ 对序列 * - 秩的贡献为 $\sigma(A) \oplus… \oplus \sigma(A)$，总是严格小于 $\sigma(A^ )$。由归纳假设可知，$\Gamma, A^n, \Delta \vdash C$ 在 $!ACT_{\omega}$ 中可推导，再通过 $\ast L_{\omega}$ 规则可推出 $\Gamma, A^ , \Delta \vdash C$。
- 情况 2 ：若 $\Psi \vdash C$ 不是 $\Gamma, A^ , \Delta \vdash C$ 的形式。如果它是公理，那么它也