17、非确定性语义下双边判断的证明搜索

非确定性语义下双边判断的证明搜索

在逻辑推理和形式化验证的领域中，非确定性语义下的双边判断证明搜索是一个重要的研究方向。本文将深入探讨相关的基础概念，包括语言、二维后果关系、二维非确定性矩阵以及二维语句的演算等内容。

1. 语言

命题签名 $\Sigma$ 是一个族 ${\Sigma_k} {k\in\omega}$，其中每个 $\Sigma_k$ 是 $k$ 元连接词的集合。给定可数集 $P := {p_i | i \in\omega}$ 作为命题变量，由 $P$ 生成的关于 $\Sigma$ 的命题语言 $L {\Sigma}(P)$ 是由 $P$ 自由生成的关于 $\Sigma$ 的绝对自由代数。$L_{\Sigma}(P)$ 中的元素被称为公式，通常用大写罗马字母表示。

为了方便表示，当不会引起混淆时，我们会省略集合和公式中的花括号和并集符号，用空格表示空集。对于给定的 $\Phi \subseteq L_{\Sigma}(P)$，不在 $\Phi$ 中的公式集记为 $\Phi^c$。

在任何给定的语言上，我们可以定义以下函数：
- subf ：输出给定公式的子公式。
- props ：输出给定公式中出现的命题变量。
- size ：对于每个 $p \in P$，$size(p) := 1$；对于每个 $k \in\omega$ 和 $c^{\circ} \in \Sigma_k$，$size(c^{\circ}(A_1, \ldots, A_k)) := 1 + \sum_{i=1}^{k} size(A_i)