44、模态逻辑循环超序贯演算与无交替 μ - 演算焦点系统

模态逻辑循环超序贯演算与无交替 μ - 演算焦点系统

1. HK∗circ + RC 对于可均等 C 的完全性

在模态逻辑的研究中，我们致力于证明一个重要定理：设 C 是一组有限的可均等框架条件。如果一个超序贯在每个 C - 模型中都有效，那么它有一个无切割的 HK∗circ + RC 证明。

为了证明这个定理，我们将为每个不可证明的超序贯构造一个反模型。首先，对于一组公式 Γ，我们定义 □−1Γ := {ϕ | □ϕ ∈ Γ}。

接着，我们引入规范模型的概念。对于一个超序贯 H，其规范模型 SH 是一个三元组 (S, R, V)，具体定义如下：
- S := H
- Γ1 ⇒ Δ1RΓ2 ⇒ Δ2 当且仅当 □−1Γ1 ⊆ Γ2
- V(p) := {Γ ⇒ Δ | p ∈ Γ}

规范模型的关键性质在于，对于某些不可证明的超序贯 H，它们满足真值引理，这意味着 H 在其规范模型 SH 中是无效的。接下来，我们需要构造这样的不可证明超序贯并建立真值引理。

我们还定义了一些重要的概念：
- 命题饱和 ：一个序贯 Γ ⇒ Δ 是命题饱和的，当满足以下封闭条件：
1. ⊥ ∉ Γ
2. Γ ∩ Δ = ∅
3. 如果 ϕ1 → ϕ2 ∈ Γ，那么 ϕ2 ∈ Γ 或 ϕ1 ∈ Δ
4. 如果 ϕ1 → ϕ2 ∈ Δ，那么 ϕ1 ∈ Γ 且 ϕ2 ∈ Δ
5. 如果 □∗ϕ ∈ Γ，那么 ϕ ∈ Γ 且 □□∗ϕ ∈ Γ
6. 如果 □∗ϕ ∈ Δ，那么 ϕ ∈ Δ 或 □□∗ϕ ∈ Δ
一个超序贯是命题