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本文研究了随机投影在受线性不等式和欧几里得球约束的二次规划问题中的应用。通过构造低维投影问题，证明了其以高概率保留原始问题的可行性和目标值近似性，并给出了理论保证与计算验证。方法显著降低了高维QP问题的求解复杂度，适用于投资组合优化等多个领域，同时探讨了其优势、局限性及在机器学习、数据挖掘和信号处理中的潜在应用。

本文探讨了如何通过打破对称性来增强平方和（SoS）方法在最大完工时间调度问题中的应用。基于表示论与多项式环的不变模理论，文章构建了调度理想的代数结构，并利用伪期望与条件化技术设计近似算法。通过引入对称破缺不等式和α-平衡划分，有效克服了传统SoS方法因对称性导致的下界退化问题。结合二分查找与贪心策略，提出了一种基于SDP的近似方案，并给出了完整的舍入算法流程。该方法在制造业、云计算和物流等领域具有广泛应用前景。

本文研究了相同机器上的最小化最大完工时间调度问题，探讨了平方和（SoS）层次结构在处理该问题时因对称性导致的局限性。通过构造基于表示理论的对称约简分解，证明了在配置线性规划上即使应用Ω(n)轮SoS仍存在至少1.0009的整数间隙。进一步地，提出通过添加打破机器对称性的不等式来克服这一障碍，使得仅需O_ε(1)轮SoS即可将整数间隙降至(1+ε)以内。结合理论分析与实验验证，展示了打破对称性对提升SoS松弛质量的关键作用，并为组合优化中对称性处理提供了新的视角。

本文系统阐述了核心为空的合作匹配博弈中核仁的多项式时间计算方法。通过引入通用匹配与通用分配的概念，结合Edmonds匹配多面体理论和Maschler方案，给出了最小核心的紧凑线性规划表述，并证明该方法可在多项式时间内求解核仁。文章详细分析了算法步骤、复杂度及应用前景，同时指出向b-匹配博弈推广和开发组合算法等开放问题，为匹配博弈的解概念研究提供了重要的理论基础与算法支持。

本文研究了加权合作匹配博弈中核仁的计算问题，解决了这一长期悬而未决的开放性问题。通过引入Maschler方案，结合最小核心的紧凑线性规划表述、固定联盟的迭代分析以及通用匹配和关键对称引理的应用，提出了一种可在多项式时间内计算核仁的高效算法。该方法不仅在理论上具有重要意义，也为资源分配与合作决策等实际场景提供了强有力的算法支持。

本文介绍了一种利用有限精度预言机求解线性规划问题的迭代细化算法，并扩展了带基验证和有理数重构的方法以获得精确最优解。通过理论分析与实验验证，对比了SoPlexfac、SoPlexrec与QSopt ex三种求解器在多个实例上的表现。结果表明，SoPlexfac在解决实例数量和运行效率方面整体优于其他方法，尤其在高精度需求下优势明显。同时，不同算法各有适用场景，需根据问题特性选择合适策略。

本文探讨了可分解混合整数非线性规划中的关键证明，包括凹性与低估函数的构造，并深入分析了在有限精度神谕下精确求解线性规划的理论与方法。重点介绍了基于迭代细化的输出敏感算法，该方法通过逐步提升近似解精度并结合有理重构技术，在实际应用中显著降低了计算成本。相较于传统依赖高精度近似的算法，新方法在收敛速度、数值稳定性和求解效率方面展现出明显优势，尤其适用于稀疏且解结构简单的实际优化问题。

本文介绍了一种针对可分解混合整数非线性规划（MINLP）的交集割平面生成方法。通过构建在给定点处紧的凹低估函数，即使在缺乏凸低估函数的情况下也能生成有效割平面。文章提出三种核心技术：基于可分解函数结构的凹低估函数构造、利用变量边界信息扩大无S集以强化割平面，以及将幺半强化扩展至析取割框架下处理整数变量。同时讨论了各方法的特点与适用场景，并分析了实际应用中的成本与替代方案。尽管该方法在理论上具有创新性，但其实际性能和强化程序的计算开销仍需进一步验证和优化。未来研究方向包括性能测试、强化成本降低及最大无S集的识

本文探讨了多汇点网络中的最早到达转运（EAT）问题与可分解混合整数非线性规划（MINLP）中的交集割技术。在EAT部分，通过引理分析和字典最大流的凸组合方法，研究了解的存在性与求解复杂性，并指出两汇点情况下的NP难性质；在MINLP部分，介绍了基于LP松弛的分支定界框架，提出利用凹低估函数生成交集割并结合域边界与整数性进行强化的方法。文章还展示了两种优化方法的流程图与实际应用路径，为网络流与非线性整数规划领域提供了理论支持与求解思路。

本文研究了多汇点动态网络中的最早到达转运（EAT）问题，针对传统方法难以处理多汇点场景的挑战，提出了一种基于次模函数最小化和字典序最大最早到达流（lex-max EAF）的多项式空间算法。通过引入最早到达模式和基多面体理论，将紧EAT问题转化为可计算的优化问题，并给出了存在解的充要条件。算法不仅可用于判断解的存在性，还能在存在时构造出具体流量方案。该方法在自然灾害疏散、应急资源调度等时间敏感型应用中具有重要意义。同时，文章探讨了非紧EAT问题、大规模网络优化及动态实时调整等未来研究方向。

本文介绍了一种用于求解车辆路由及相关组合优化问题的通用分支-切割-定价（BCP）求解器。该求解器基于统一的建模框架，将多种问题（如CVRP、PDPTW、GAP、BPP等）转化为资源约束最短路径（RCSP）模型，并结合先进的算法技术，包括桶图标签算法、对偶价格平滑、多阶段强分支等，实现了高性能求解。实验结果表明，该求解器在多个标准数据集上优于或媲美现有最优算法，尤其在TOP、CTOP、VRPSL等问题上表现突出，并成功求解了多个开放的CVRP实例。未来计划向学术界开源，用户仅需约100行Julia代码即可建模

本文提出了一种用于求解车辆路由及相关问题的通用精确求解器，基于分支-切割-定价（BCP）框架，通过引入‘打包集’这一新概念，泛化了最先进算法中的关键元素，如ng-路径、有限内存秩-1切割和路径枚举技术。该求解器能够处理多种VRP变体及非VRP组合优化问题，显著提升了求解效率，在实验中平均节省50%的求解时间，展现出优异的通用性与性能。未来可进一步结合机器学习与扩展至更多实际应用场景。

本文深入研究了整数解稀疏性的平均情况分析，结合群论、格论与埃尔哈特理论，系统证明了定理1和定理2。通过引入平行六面体的群结构、格点在锥中的分布特性，以及关键引理的推导，揭示了整数规划中解的稀疏性上界与矩阵结构参数之间的关系。文章详细展示了从子矩阵\(\tilde{A}\)到矩阵\(A\)和\(B\)的构造过程，并利用极限分析方法验证了渐近行为。研究成果为整数规划理论提供了深刻洞察，具有重要的理论价值和应用潜力。

本文探讨了整数规划与图论中的关键问题，重点介绍了收缩技术在一致性约束割（CCMC）问题中的应用及其概率与效率分析，并通过构建加权辅助图实现高效求解。同时研究了整数规划可行解的稀疏性在平均情况下的表现，提出了渐近支持函数的概念，并分析了矩阵子式及其素因子对稀疏性的影响。结合算法流程与实际应用场景，展示了这些理论在资源分配、网络流等问题中的重要意义，并对未来的研究方向进行了展望。

本文提出了一种用于解决同余约束最小割（CCMC）问题的新收缩技术，通过引入约简族的概念和受Karger算法启发的顶点对收缩方法，设计了一个高效的随机算法。该算法对常数模数的CCMC问题提供了多项式时间随机近似方案（PRAS），并对两个素数乘积模数的情形可高概率返回最优解。文章还分析了算法复杂度，并通过实验验证了其有效性，最后探讨了在算法优化、实际应用拓展及与Δ-模ILP关系方面的未来研究方向。

本文研究了鲁棒影响力最大化问题，提出了一种基于分支-切割框架的精确算法。通过引入扩展激活集和懒约束机制，将原问题转化为可求解的混合整数线性规划模型（R-IMP-LAZY），并在大量图实例上验证了算法的有效性。研究表明，该方法能够找到最优鲁棒解，但计算复杂度随网络规模和不确定性程度上升而显著增加。同时，分析了鲁棒性带来的性能代价，并探讨了未来在边权重不确定性处理、有效切割类设计及列生成技术应用等方面的研究方向。

本文深入解析了近似多拟阵交的终止性证明及其在鲁棒影响力最大化问题中的应用。通过令牌计数论证证明了算法的终止性，并分析了背包约束的违反情况。文章系统介绍了影响力最大化问题的不同模型，包括确定性、随机与鲁棒模型，重点提出了基于最小激活集和对偶理论的非鲁棒问题单级线性规划方法。针对鲁棒版本中不确定性带来的挑战，设计了结合懒惰约束与切割分离的分支-切割算法，在保持变量规模的同时有效处理鲁棒性。数值实验验证了该方法在小到大规模实例上的有效性。最后展望了未来在算法效率、模型扩展和分布式实现方面的研究方向。

本文介绍了一种基于迭代细化和松弛的近似算法，用于解决多拟阵交集问题。通过拟阵的分裂操作——限制与收缩，算法将复杂拟阵结构逐步分解，并结合线性规划松弛与元素固定策略，在多项式时间内获得满足特定独立性条件的近似解。文章详细分析了算法的关键步骤、正确性与终止性，讨论了其在广义拟阵度有界生成树和背包约束扩展中的应用，并证明了在加法违规意义上的不可改进性，为相关组合优化问题提供了理论基础与实用工具。

本文研究了非对称旅行商路径（ATSPP）与近似多拟阵交问题。在ATSPP方面，通过界定对偶变量差值，证明了其线性规划松弛的整数比满足 \(\rho_{ATSPP} \leq 4\rho_{ATSP} - 3\)，并分析了节点加权与无权实例的整数比性质。在近似多拟阵交方面，提出一种新的迭代舍入方法，首次实现了加权3-拟阵交问题的LP相对2-近似算法，解决了长期存在的整数比问题，并将该方法拓展至约束生成树和混合拟阵-背包约束等应用场景。实验验证了新方法的有效性，未来工作将探索更一般的约束类与并行算法设计。

本文研究了非对称旅行商路径问题（ATSPP）的线性规划松弛的整性比，证明了其具有恒定整性比，即\(\rho_{ATSPP} \leq 4\rho_{ATSP} - 3\)，结合ATSP的最新成果，表明ATSPP也存在常数因子近似算法。通过引入对偶LP的层状支撑结构、强连通分量分析以及路径合并技术，文章建立了从多个分数路径构造单个低代价整数路径的方法，并给出了在节点加权实例下的更紧界\(\rho_{ATSPP}^{NW} \leq 2\rho_{ATSP}^{NW} - 1\)。此外，通过具体实例验证了整性比

本文研究了子模生成树博弈的高效特征刻画，通过分析违规循环、坏洞与坏诱导钻石等图结构，提出了判断子模性的两个关键条件：一是所有子图中不存在违规循环，二是候选边在昂贵邻域上的函数值非负。文章给出了相关引理与定理的严格证明，并设计了可在多项式时间内完成的验证流程，为图论与博弈论交叉领域的研究提供了理论支持与实践方法。

本文解决了生成树博弈子模性高效刻画的开放问题，提出了一种基于‘违反循环’检测和关键顶点子集上子模性不等式验证的多项式时间算法。通过推广已有结果，引入新的图结构概念，并结合图论与博弈论分析，实现了对生成树博弈是否具有子模性的有效判定，为合作博弈中的稳定性与分配问题提供了重要工具。

本文深入研究了格的Voronoi胞腔的紧凑表示，探讨了低秩格的紧凑基存在性、放宽基条件下的紧凑常数及其与对偶格参数的关系。通过引入c-紧凑集和放宽紧凑常数\(\overline{c}(\Lambda)\)，分析了其在算法中的应用，特别是在Micciancio-Voulgaris算法中的预处理与迭代步骤中的作用。文章还证明了若干关键引理与定理，包括Voronoi相关向量的刻画、紧凑常数的下界分析以及当Voronoi胞腔为zonohedron时存在由Voronoi相关向量构成的紧凑基。最后讨论了四维格的紧凑基存

本文围绕格的Voronoi胞腔的紧凑表示展开，提出c-紧凑基和松弛紧凑性概念，为求解最近向量问题（CVP）的单指数时间与多项式空间算法提供新思路。通过分析紧凑性常数的上下界及与带中心多面体格的关系，探讨了现有算法的复杂度与局限性，并展望了随机格的紧凑性分析与高效寻找紧凑基的未来研究方向。

本文探讨了最小有效函数的扰动空间结构，提出了最小有效函数扰动空间的分解定理。在连续分段线性假设及移动闭包有限表示的基础上，通过引入覆盖集、未覆盖集与细化断点集，实现了对扰动空间的有限维与等变部分的直和分解。主要结果包括移动半群的分解性质、等变扰动在连通未覆盖组件上的局部刻画，以及整体扰动空间的正交分解定理。这些理论为研究函数的稳定性与对称性提供了代数与拓扑工具。

本文研究了马尔可夫系统中的线性规划问题及其通过在线竞争解决方案（OCRS）进行舍入的算法，提出了算法ALG并分析了其效用下界。同时探讨了整数规划中最小有效函数的有效扰动空间，引入功能方程与移动集合的概念，并基于逆半群作用和多种闭包性质构建了精确的扰动空间结构。进一步提出了一种网格自由算法，相比传统方法在处理有理与无理输入、降低对分母大小敏感性以及精确描述扰动空间方面具有显著优势，为优化与决策问题提供了更强大的理论工具。

本文解读了马尔可夫信息价格（Markovian PoI）模型下的优化问题研究，重点分析了如何将自由信息世界中的节俭算法转换到马尔可夫信息价格世界，并保持其近似性能。核心内容包括状态等级、主导成本和时期的定义，效用最大化与最小化问题的自适应算法设计，模型参数的鲁棒性分析，以及带承诺约束情况下的近似算法构造。通过引入LP松弛与OCRS舍入技术，解决了DAG结构下带承诺约束的效用最大化问题。文章还总结了该方法的优势与局限性，并展望了未来在更广泛场景中的应用潜力，如资源调度与投资决策等实际领域。

本文探讨了动态流与自适应路径选择以及马尔可夫信息价格模型在复杂网络和资源决策问题中的应用。通过定理与引理的证明，阐述了动态流在网络中持续流动的机制，并构建了基于马尔可夫链的自适应决策模型。文章提出了将传统节俭算法转换为适用于马尔可夫信息价格设置的自适应算法的方法，实现了在有检查成本情况下的效用最大化或负效用最小化。此外，还讨论了算法的鲁棒性及对承诺约束的处理，展示了其在交通、通信、石油勘探等实际场景中的广泛应用潜力。

本文研究了动态流中的自适应路由选择，提出了瞬时动态均衡（IDE）的新定义，并在多源单汇和多商品网络中分析了IDE流的存在性与终止性。研究表明：在多源单汇网络中，IDE流存在且会在有限时间内清空；而在多商品网络中，尽管存在IDE流，但可能因循环流动而永不终止。通过构造性算法和反例实例，揭示了动态流在网络演化中的复杂行为，为交通、通信等领域的动态路由机制提供了理论支持。

本文研究了具有精确子图约束的半定规划问题中的束方法及其在最大割、稳定集和着色问题中的应用，展示了束方法在计算效率和界改进方面的显著优势。同时，探讨了动态网络流中的自适应路径选择模型——瞬时动态均衡（IDE），该模型更贴近现实交通行为，为动态流研究提供了新视角。通过对比传统模型与现有算法，文章总结了两类方法的优势，并提出了未来在更大规模子图处理、复杂网络结构及实际应用场景中的研究方向。

本文提出了一种基于束方法的有效算法，用于求解具有精确子图约束（ESC）的半定规划（SDP）松弛问题，适用于最大割、稳定集和着色等组合优化问题。通过构建部分拉格朗日对偶，将原问题转化为非光滑凸最小化问题，并利用束方法迭代选择违反程度最大的子图约束进行优化，避免了处理全部指数级约束带来的计算负担。该方法在保持变量矩阵规模不变的前提下，显著提升了松弛界的精度，尤其在小k值（k ≤ 6）时表现出良好的计算效率与收敛性。实验结果表明，相比标准内点法，该方法在计算时间和内存使用上更具优势，能够在合理时间内获得接近最优的

本文探讨了整数规划与半定规划在解决NP-难问题中的理论与应用。在整数规划方面，通过从3-SAT问题进行多项式归约，构建SIP模型并利用素数编码和中国剩余定理证明其复杂性，同时分析了受限情况下的关联树深度与求解复杂度关系。在半定规划方面，介绍了“精确子图”方法作为获得紧致SDP松弛的分层方案，提出部分拉格朗日对偶与子问题分解，并结合束方法降低求解难度，提升了实际应用性。文章对比了不同方法的松弛程度与计算复杂度，展示了两类规划在资源分配、图优化等实际场景中的应用价值，并展望了未来融合二者优势的可能性。

本文研究了最小最大匹配（MMM）的紧密近似比与整数线性规划（ILP）的复杂度问题。通过构建无权重图和二分图，结合顶点覆盖性质，证明了在唯一游戏猜想下二分图MMM的近似难度，并揭示了其与顶点覆盖的内在联系。同时，探讨了ILP中关联树深度对可行性的影响，指出即使在常数树深度下判断解的存在性仍是NP难的。文章总结了现有算法进展，提出了未来在图构建、近似算法优化和结构参数探索方面的研究方向。

本文研究了最小最大匹配（Minimum Maximal Matching）问题的近似复杂性，基于唯一游戏猜想和小集扩展假设，证明了在一般图和二分图中该问题的紧密近似比下界。通过从唯一游戏到加权顶点覆盖的Khot-Regev归约，并构造加权与无权图之间的转换机制，利用分数匹配实现顶点权重的离散化复制，最终得出：在一般图中难以在2以内近似，二分图中难以在4/3乃至3/2以内近似。文章系统梳理了现有近似算法与硬度结果，并提出了未来研究方向。

本文探讨了弗里德曼切换顺序在第三阶段应用中出现的问题，包括与表格矛盾及违反最小进入枢轴规则等。通过对自行车内部改进开关规则的分析，提出了一套修正方案：通过确定出现记录上界、划分开关集合、引入子集并证明开关间的阻止关系，最终定义出符合最小进入枢轴规则的开关应用顺序。结合理论引理与实际案例，验证了该修正方案的有效性，显著提升了策略迭代过程中开关选择的准确性与求解效率。

本文深入研究了弗里德曼对扎德枢轴规则的次指数下界构造，分析了其在初始策略设定、边出现记录维护以及改进切换序列排序方面存在的问题。通过提出修正的初始策略、引入非活跃自行车的区分条件，并构建符合最少进入规则的新排序与破平规则，解决了原构造中的不一致与不可行性问题。研究验证了改进后的方案仍能保持原构造的宏观阶段演进，定量保留了Ω(2^n)的超多项式下界结果，为扎德规则的复杂性分析提供了更坚实的理论基础，并为相关算法设计提供了参考。

本文提出了一种求解双层背包问题（BKP）的新精确算法，通过分析追随者问题中关键物品的存在性，构建了CRIT1(c)和CRIT2(c)整数线性规划模型以计算有效下界，并引入改进机制优化下界质量。算法分为两阶段：第一阶段处理无关键物品情况、识别候选关键物品、构建并求解模型的线性松弛以排序子问题，同时计算可行解；第二阶段采用变量固定与约束生成技术深入探索子问题，直至找到最优解。实验结果表明，该方法在小规模和大规模实例上均具有出色的计算效率和求解能力，能在短时间内求得最优解，适用于资源分配、物流规划等实际场景。未来

本文研究了在线吞吐量最大化中的承诺处理机制与双层背包带阻断约束问题（BKP）。在在线调度方面，分析了准入时承诺与δ-承诺模型下的算法性能，探讨了加权与无权作业的复杂性差异，并通过引理证明揭示了关键结构特性。针对BKP，提出了一种基于数学规划下界和诱导追随者问题的新精确方法，显著提升了求解效率，可在数秒内解决大规模实例。研究表明，所提方法在处理500个物品的大规模问题中仍具高效性，同时为未来多处理器扩展与更复杂博弈场景提供了研究方向。

本文研究了在线吞吐量最大化中的承诺问题，提出了一种统一的通用算法框架，适用于有承诺和无承诺两种调度场景。通过引入区域算法和中断树结构，实现了在不同承诺模型下的竞争比分析，并给出了准入控制与作业完成的理论保证。文章详细探讨了无承诺、δ-承诺及到达时承诺等多种模型下的竞争比上下界，揭示了承诺机制对调度难度的影响。结果表明，该框架能有效处理具有截止日期的作业调度问题，但仍存在上下界差距等开放问题有待进一步研究。

本文研究了ℓ1-稀疏性近似界限与在线吞吐量最大化算法。针对不同宽度的packing integer programs（PIPs），提出了基于缩放因子的随机近似算法，并分析了在W≥2和W1+ϵ情况下的近似界限改进。对于在线作业准入问题，采用区域算法框架，在无承诺与有承诺（包括准入时承诺和δ-承诺）场景下实现了不同的竞争比性能。文章对比了各类算法的表现，探讨了其在资源分配与云计算等实际应用中的潜力与挑战，并展望了未来结合新技术优化算法性能的方向。