31、马尔可夫信息价格相关研究解读

马尔可夫信息价格相关研究解读

1. 核心定理与推论

定理1表明，对于半可加目标函数 val ，若在自由信息世界中，针对某些打包约束 F 的效用最大化（Util - Max）问题存在一个α近似的节俭算法，那么在马尔可夫信息价格（Markovian PoI）世界中，对应效用最大化问题也存在一个α近似策略。对于效用最小化（Disutil - Min）问题，也有类似结果。

基于已知的节俭算法，有以下推论：
|问题类型|具体问题|近似情况|
| ---- | ---- | ---- |
|Util - Max和Disutil - Min|拟阵问题|存在最优算法|
|Util - Max|匹配问题|2近似|
|Util - Max|k系统问题|k近似|
|Disutil - Min|集合覆盖问题|min{θ, log n}近似，其中θ是元素所在集合的最大数量|
|Disutil - Min|设施选址问题|1.861近似|
|Disutil - Min|带奖励的斯坦纳树问题|3近似|

2. 状态等级的定义

在证明定理1之前，需要定义马尔可夫系统中每个状态的等级。考虑马尔可夫系统 S = (V, P, s, T, π, r) ，为定义状态 v ∈ V 的等级 τ v ，引入了τ惩罚的马尔可夫游戏 S(τ) 。在这个游戏中，玩家在每一步有两个选择：
- 停止 ：立即结束游