57、欧几里得球上二次规划的随机投影

欧几里得球上二次规划的随机投影

1. 引言

随机投影（Random Projections，RP）是一种常用的降维技术，它可以将高维空间中的一组点投影到低维空间，同时以高概率近似保留所有点对之间的欧几里得距离。通常，随机投影应用于数值数据，以加速基于欧几里得距离的算法，如 k - 均值或 k - 最近邻算法。

我们的研究重点是将随机投影应用于受线性不等式约束和单个欧几里得球约束的二次规划（Quadratic Programming，QP）问题。考虑以下一对 QP 问题：
- 问题（1）：
[
\begin{cases}
\max_y y^{\top}\tilde{Q}y + \tilde{c}^{\top}y \
\tilde{A}y \leq \tilde{b} \
\lVert y \rVert_2 \leq R
\end{cases}
]
其中，$y$ 是 $n$ 维决策变量向量，$\tilde{Q}$ 是对称的 $n \times n$ 矩阵，$\tilde{c} \in \mathbb{R}^n$，$\tilde{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\tilde{b} \in \mathbb{R}^m$，$R$ 是正标量。
- 问题（2）：
[
\begin{cases}
\max_x x^{\top}Qx + c^{\top}x \
Ax \leq b \
\lVert x \rVert_2 \leq 1
\end{cases}
]
问题（2）是问题（1）的缩放版本，其中 $Q = R^2\tilde