41、近似多拟阵交与鲁棒影响力最大化算法解析

近似多拟阵交与鲁棒影响力最大化算法解析

1. 近似多拟阵交的终止性证明

在近似多拟阵交的求解过程中，为证明算法的终止性，关键在于说明在步骤 6 中总能去掉一个拟阵约束或背包约束。这可通过与引理 6 证明中相同的令牌计数论证来实现。

假设 (Ax = b) 是 (LPmatkn) 的一个满秩子系统，由线性无关的 (x^ ) 紧约束组成。我们可以假定与 (M_0) 约束对应的 (A) 的行构成一个嵌套族 (C)。接下来定义一个令牌分配方案：
- 对于每个 (e \in N)，它向 (C) 中包含 (e) 的最小集合所对应的 (A) 的行提供 (x^ (e)) 个令牌（若存在这样的集合）。
- 对于集合 (M) 中的每个拟阵 (M’)，若其基集包含 (e)，则 (e) 向来自该拟阵 (M’) 的 (A) 的每一行 (A_{M’}) 提供 ((1 - x^ (e))/q_{M’}) 个令牌。
- 对于每个来自背包约束且基集包含 (e) 的 (A) 的行，(e) 还提供 ((1 - x^ (e))/q_i) 个令牌。

在这个方案下，鉴于对 (q) 值的约束，每个 (e \in N) 提供的令牌单位最多为 1。并且，与 (M_0) 约束对应的 (A) 的每一行至少接收 1 个令牌单位。所以，要么存在来自 (M) 中某个拟阵的行 (A_{M’}) 接收的令牌单位严格少于 1，要么存在对应背包约束的 (A) 的某一行接收的令牌单位最多为 1。后一种情况对应于一个背包约束 (i)，满足 (|N_i| - x^*(N_i) \leq q_i)。

2. 背包约束的违反分析

对于第 (i