48、多汇点网络中的最早到达转运问题研究

多汇点网络中的最早到达转运问题研究

1. 背景与问题引入

自然灾害如飓风等的发生频率和强度可能因气候变化而增加，高效的疏散策略至关重要。最早到达转运（EAT）可以在灾难发生的任意时刻拯救尽可能多的人，其目标是在动态网络中，将物资从源点尽快地输送到汇点，同时在每个时刻都使到达汇点的流量最大化。

动态网络 $N = (D = (V, A), u, τ, S^+, S^-)$ 包含有向图 $D$、容量函数 $u$、传输时间函数 $τ$，以及源点集 $S^+$ 和汇点集 $S^-$。流量随时间的函数 $f$ 需要满足容量限制和流量守恒。

在单汇点网络中，对于任意的供应和需求，最早到达转运总是存在的，因此已有很多研究致力于设计高效算法来计算此类网络中的 EAT。然而，在多汇点网络中，EAT 通常并不存在，目前对于此类网络中 EAT 的研究成果较少。

2. 预备知识与符号说明

• 次模函数最小化 ：给定有限集 $U$，集合函数 $g: 2^U → R$ 若满足对于所有 $X ⊆ Y ⊆ U$ 和 $x ∈ U \ Y$，有 $g(X ∪ {x}) - g(X) ≥ g(Y ∪ {x}) - g(Y)$，则称 $g$ 为次模函数。次模函数最小化（SFM）是计算次模函数的最小值和最小化子集的问题。次模函数 $g$ 的基多面体 $B(g) = {x ∈ R^U | x(X) ≤ g(X) 对于所有 X ⊆ U 且 x(U) = g(U)}$ 在许多 SFM 算法中起着核心作用。
• 流量随时间的额外符号 ：流量随时间的函数 $f$ 在时刻 $θ$ 的