36、子模生成树博弈的高效刻画

子模生成树博弈的高效刻画

1. 引言

合作博弈是博弈论中研究较多的一类问题，在经济学、数学和计算机科学等领域有广泛应用。在合作博弈中，目标是在一组参与者（通常称为玩家）之间分配成本或收益，这些玩家可以通过形成联盟进行合作。

形式上，给定一组玩家 $N$ 和一个特征函数 $\nu : 2^N \to \mathbb{R}$，且 $\nu(\varnothing) = 0$。这里，$\nu(S)$ 表示子集 $S$ 中的玩家选择形成联盟时支付的成本或获得的收益。博弈的结果由一个分配向量 $y \in \mathbb{R}^N$ 给出，满足 $\sum_{v \in N} y_v = \nu(N)$，它为每个玩家分配一个成本或收益份额。

合作博弈中一些重要的解概念包括：
- 核心 ：是一组稳定的结果，其中没有玩家子集有动机形成联盟偏离。在合作成本博弈中，这自然转化为约束条件 $\sum_{v \in S} y_v \leq \nu(S)$，对于所有 $S \subseteq N$。
- Shapley 值
- 核仁
- 核
- 谈判集
- 冯·诺依曼 - 摩根斯坦解集合

子模性（或凸性）是合作博弈的一个关键属性，具有子模性的合作成本博弈实例，其特征函数 $\nu$ 满足 $\forall A, B \subseteq N, \nu(A) + \nu(B) \geq \nu(A \cu