45、整数解稀疏性的平均情况分析

整数解稀疏性的平均情况分析

在数学研究中，整数解的稀疏性是一个重要的课题，它涉及到群论、格论和埃尔哈特理论等多个领域。本文将详细探讨相关定理的证明以及一些关键概念和引理。

1. 定理证明的理论基础

定理 1 的证明基于群论、格论和埃尔哈特理论的结合。从高层次来看，群论和格论的结合与戈莫里（Gomory）以及阿利耶夫（Aliev）等人的论文有相似之处。戈莫里研究了整数规划（IP）的值函数，并证明了当右侧向量足够大时其具有周期性。阿利耶夫等人则证明了函数 $\sigma(A, b)$ 在 $b$ 足够大时的周期性。而本文的精细分析使得我们能够量化支持函数较小时右侧向量的数量，这不仅需要群论和格论，还需要埃尔哈特理论。

2. 平行六面体的群结构

设 $W \in Z^{m×m}$ 是一个可逆矩阵，我们也将其视为一组 $m$ 个线性无关的列向量。定义 $\Pi(W)$ 为 $W$ 生成的基本平行六面体内的整数向量集合：
$\Pi(W) := {z \in Z^m : z = W\lambda, \lambda \in [0, 1)^m}$
对于每个 $b \in Z^m$，存在唯一的 $g \in \Pi(W)$ 使得 $b = g + Wz$，其中 $z \in Z^m$。由此可以定义一个余数函数 $\rho_W : Z^m \to \Pi(W)$：
$\rho_W(b) = \rho_W(g + Wz) \to g$
$Z^m$ 在 $\rho_W$ 下的像（即 $\Pi(W)$）通过运算 $+ {GW} : \Pi(W) × \Pi(W) \to \Pi(W)$ 构成一个群 $G_W(Z^m)$，定义为： <