38、非对称旅行商路径线性规划具有恒定整性比

非对称旅行商路径线性规划具有恒定整性比

1. 引言

非对称旅行商路径问题（ATSPP）中，给定有向图 $G = (V, E)$，两个顶点 $s, t \in V$，以及权重 $c : E \to R_{\geq 0} \cup {\infty}$。目标是找到一个序列 $s = v_0, v_1, \ldots, v_k = t$，该序列包含每个顶点至少一次（即 $s - t$ 路径），并最小化 $\sum_{i = 1}^{k} c(v_{i - 1}, v_i)$。也可以假设 $G$ 是完全图，且对于所有 $u, v, w \in V$ 满足三角不等式 $c(u, v) + c(v, w) \geq c(u, w)$，同时要求序列恰好包含每个顶点一次。

当 $s = t$ 时，该问题即为非对称旅行商问题（ATSP）。近期，Svensson、Tarnawski 和 V´egh 找到了 ATSP 的首个常数因子近似算法，并证明其标准线性规划（LP）松弛具有恒定整性比。Feige 和 Singh 表明，任何 ATSP 的 $\alpha$ - 近似算法都能推出 ATSPP 的 $(2\alpha + \varepsilon)$ - 近似算法（对于任意 $\varepsilon > 0$），这意味着 ATSPP 也存在常数因子近似算法。

2. 线性规划松弛

ATSPP（$s \neq t$）的经典线性规划松弛如下：

min c(x)
s.t.
x(δ−(s)) − x(δ+(s)) = −1
x(δ−(t)) − x(δ+(t)) = 1
x(δ−(v)) − x(δ+