42、鲁棒影响力最大化的精确算法

鲁棒影响力最大化的精确算法

1 问题引入与初步建模

在影响力最大化问题中，最初的 (IMP - θ0) 问题可以表述为一个二次规划问题：
[
\begin{align }
&\max_{\pi,\mu,y} \sum_{j\in V} \sum_{S\in C_j} (|S| - 1)\pi_S + \sum_{j\in V} \mu_jy_j\
&\forall j\in V, \sum_{k\in \delta^+(j)} \sum_{S\in C_k:j\in S} \pi_S - \sum_{S\in C_j} \pi_S + \mu_j \leq 1\
&\sum_{j\in V} y_j = q\
&\forall j\in V, \forall S\in C_j, \pi_S \leq 0\
&\forall j\in V, \mu_j \geq 0\
&\forall j\in V, y_j \in {0, 1}
\end{align }
]
为了便于求解，我们可以将其转化为带有指示约束的线性规划问题。观察到当 (y_j = 0) 时，(\mu_j) 在目标函数中无贡献，且增加 (\mu_j) 会缩小其余变量的可行域，所以存在一个最优解使得 (y_j = 0) 时 (\mu_j = 0)。由此得到 (DUAL - θ0) 问题：
[
\begin{align }
&\max_{\pi,\mu,y} \sum_{j\in V} \sum_{S\in C_j} (|S| - 1)\p