50、可分解混合整数非线性规划的交集割平面

可分解混合整数非线性规划的交集割平面

在可分解混合整数非线性规划（MINLP）中，即使某些函数不存在凸低估函数，也存在有效的割平面。下面将详细介绍相关的技术和方法。

1. 主要贡献

1.1 构建凹低估函数

提出了一种为可分解函数构建凹低估函数的方法，该方法在给定点处是紧的。此方法类似于McCormick构建凸低估函数的方法，并对相关命题进行了推广和改进。这些凹低估函数可用于构建交集割（IC）。与凸低估函数相比，凹低估函数的一个显著特点是不需要有界的定义域。例如，(-x^2) 是其自身的凹低估函数，但只有当 (x) 的定义域有界时，才存在凸低估函数。不过，这也带来一个问题，即当定义域缩小时，凹低估函数无法得到改进。

1.2 扩大无S集

提出了一种利用变量边界来扩大无S集的强化程序，该程序改进了Tuy所使用的方法。此外，还有其他强化IC的技术，如利用非基本变量的整数性、改进松弛R以及计算 (R\setminus C) 的凸包等。

1.3 扩展幺半强化

通过将IC解释为析取割，将幺半强化扩展到当前的设置中。尽管其适用性似乎有限，但对于混合整数线性规划（MILP）具有一定的独立研究价值。

2. 相关工作

在将割平面从MILP推广到MINLP方面有很多努力。一些工作研究了如何计算 (conv(R\setminus C))，其中 (R) 不是多面体，而 (C) 通常来自变量的整数性。还有一些工作构建的集合 (C) 并非基于整数性考虑。某些文献中构建的析取可以解释为分段线性凹低估函数，但本文的方法不适用于通过割生成线性规划（LP）构建的析取割。

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