37、子模生成树博弈的高效特征刻画

子模生成树博弈的高效特征刻画

在图论和博弈论的交叉领域中，子模生成树博弈是一个重要的研究课题。本文将深入探讨子模生成树博弈的特征刻画，揭示其背后的数学原理和高效验证方法。

1. 违规循环与图的性质

违规循环是子模性的一个阻碍。如果在图 $G_{\ell}$ 中存在一个包含顶点 $u$ 和 $v$ ，且边 $uv \notin E_{\ell}$ 的循环 $C_1$ ，那么 $C_1$ 就是一个违规循环。然而，若图 $G_{\ell}$ 中不存在违规循环，就会产生矛盾。

进一步研究发现，如果图 $G_j$ 包含一个违规循环，那么必然存在一个 $i \leq j$ ，使得图 $G_i$ 包含一个坏洞或一个坏诱导钻石。这意味着，若对于所有 $i < k$ ，图 $G_i$ 中都不存在坏洞和坏诱导钻石，那么这些子图中也不会有违规循环。

为了验证这一条件，可以通过以下方法：
- 寻找坏洞 ：对于所有 $v \in N$ 且 $rv \notin E_i$ 的顶点 $v$ ，检查是否存在一个经过该顶点的洞。
- 寻找坏诱导钻石 ：可以通过检查所有大小为 4 的顶点子集来实现，该操作在多项式时间内即可完成。

2. 候选边与昂贵邻域

在排除了违规循环的图中，我们引入了候选边和昂贵邻域的概念。
- 昂贵邻域的定义 ：对于边 $uv \in E$ ，若 $w(uv) = w_i$ ，则其昂贵邻域定义为 $\hat{N}(uv) := N_k(uv) \setminus N_i(uv)$ ，