27、具有精确子图约束的半定规划的束方法

具有精确子图约束的半定规划的束方法

1 引言

并非所有层次结构都是相同类型。对于最大割问题，有学者引入了一种多面体层次结构，该结构在所有层次上都维持 $\binom{n}{2}$ 个变量，且约束数量不断增加。还有学者引入了半定规划（SDP）松弛的层次结构，在该层次结构的第 $k$ 级，所有 $k$ 阶子矩阵都必须满足精确子图约束（ESC）。

本文的主要目的是描述一种在 $k$ 值较小时（如 $k \leq 6$）对该层次结构的第 $k$ 级进行优化的有效方法，并展示该方法在最大割、稳定集和着色问题上的有效性。

在 $n$ 阶矩阵的 SDP 中维持 $\binom{n}{k}$ 个可能的 ESCs 在计算上是不可行的，即使对于 $k = 2$ 或 $k = 3$ 也是如此。因为每个 ESC 大约会产生 $\binom{k}{2}$ 个额外的等式约束和最多 $2k$ 个额外的线性变量。为克服这一困难，我们提出以下思路：
1. 迭代进行，在每次迭代中仅包含（几百个）违反程度最大的 ESCs。
2. 求解所得 SDP 的对偶问题。该对偶问题可重新表述为一个非光滑凸最小化问题，具有吸引人的特征：
- 任何对偶解都为我们的松弛问题提供一个有效界，因此不必将最小化过程进行到最优。
- 对偶函数评估可分解为两个独立问题：一个是简单的最大项之和，另一个是求解一个与 ESCs 无关的“基本” SDP。第二个问题的优化器还能产生目标函数的一个次梯度。基于这些信息，我们建议使用非光滑凸优化中的束方法，它能在几次迭代内有效逼近最小值。

下面是一些符号说明：
- 用 $\mathbf{1} n$ 表示大小为 $n$ 的全 1 向