55、打破对称性以拯救平方和：最小化最大完工时间调度问题的案例

打破对称性以拯救平方和：最小化最大完工时间调度问题的案例

1. 引言

在组合优化领域，提升 - 投影层次结构（如 Sherali & Adams (SA)、Lovász & Schrijver (LS) 或平方和 (SoS)）是用于获取一系列越来越紧的松弛问题的系统方法。然而，对于哪些问题这些层次结构能产生与最佳近似算法相匹配的松弛问题，目前还没有完全明确的结论。实际上，在一些算法上较为简单的问题中，既有积极的结果，也有许多强烈的负面结果，这显示了这些层次结构作为通用技术的自然局限性。

值得注意的是，用于获得下界的实例通常具有非常对称的结构，这表明这些层次结构给出的松弛问题的紧密度与对称性之间存在很强的联系。本文聚焦于一个特定的相关问题，即相同机器上的最小化最大完工时间调度问题。该问题是最早在近似算法视角下被研究的问题之一，并且自那以后得到了广泛的研究。

此问题的输入包括一个包含 $n$ 个作业的集合 $J$，每个作业具有正整数处理时间 $p_j > 0$，以及一个包含 $m$ 个相同机器的集合 $M = [m]$。给定一个作业分配 $\sigma : J → M$，机器 $i$ 的负载是分配给它的作业的总处理时间，即 $\sum_{j\in\sigma^{-1}(i)} p_j$。目标是找到一种作业分配方案，使得最大负载（即最大完工时间）最小化。该问题是强 NP 难问题，但存在基于不同技术（如动态规划和一些可处理的整数规划版本）的多项式时间近似方案。

2. 整数间隙

最小化最大完工时间问题有两种自然的线性松弛：
- 分配线性规划 ：使用二进制变量 $x_{ij}$