54、匹配博弈的多项式时间核仁计算

匹配博弈的多项式时间核仁计算

1. 通用匹配与通用分配

在匹配博弈中，对于每个 $x \in P_1(\varepsilon_1)$，若匹配 $M \in M$ 满足 $excess(x, M) = \varepsilon_1$，则称 $M$ 为 $x$-紧匹配，记 $M_x$ 为所有 $x$-紧匹配的集合。通用匹配 $M \in M$ 是指对于所有 $x \in P_1(\varepsilon_1)$ 都是 $x$-紧的匹配，记 $G$ 上的通用匹配集合为 $M_{uni}$。通用分配 $x^ \in P_1(\varepsilon_1)$ 是一个最小核心点，其 $x^ $-紧匹配恰好是通用匹配集合，即 $M_{x^*} = M_{uni}$。

• 引理 1 ：存在通用分配 $x^ \in P_1(\varepsilon_1)$。证明表明，$P_1(\varepsilon_1)$ 相对内部的每个 $x^ $ 都是通用分配。若相对内部为空，则 $P_1(\varepsilon_1)$ 是一个单点集，显然包含通用分配。
• 引理 2 ：通用分配 $x^ \in P_1(\varepsilon_1)$ 可以在多项式时间内计算。通过椭球法可在多项式时间内找到 $P_1(\varepsilon_1)$ 相对内部的点 $x^ $，因为相对内部的任何分配 $x^*$ 都是通用分配，所以能在多项式时间计算。

对于非通用分配 $x$ 和通用分配 $x^ $，有 $M_{x^ } \subse