44、整数规划与图论中的收缩技术及稀疏性分析

整数规划与图论中的收缩技术及稀疏性分析

在整数规划和图论领域，有许多重要的问题和技术值得深入探讨。本文将围绕收缩技术在一致性约束割问题中的应用，以及整数规划可行解的稀疏性平均情况展开介绍。

一致性约束割问题的收缩技术

在一致性约束割（CCMC）问题中，收缩技术是一种重要的求解方法。为了得到一个好的收缩分布，我们需要构建一个加权辅助图 (H=(V_{\not\equiv0}, F))，然后根据 (H) 中的边权重按比例选择 (G) 中要收缩的顶点对。

收缩分布的概率分析

对于随机收缩是坏收缩（相对于 (C_0)）的概率，有如下不等式：
[Pr[\text{a random contraction is bad w.r.t. } C_0] \leq \frac{4m}{\rho \cdot |V_{\not\equiv0}|} \leq \frac{k}{|V_{\not\equiv0}|}]
其中 (k = \lceil\frac{4m}{\rho}\rceil)。在算法的所有递归调用中，对于相应的模数 (m’)，这个上界都成立。设 (s_1, s_2, \cdots, s_{\ell}) 是进行收缩步骤时 (V_{\not\equiv0}) 的大小，由于每次收缩步骤至少使 (|V_{\not\equiv0}|) 减少 1，且在进行收缩步骤时 (|V_{\not\equiv0}| > k)，所以有 (|V| \geq s_1 > s_2 > \cdots > s_{\ell} > k)。由此可得，没有收缩是坏收缩（相对于 (C_0)）的概率至少为：
[Pr[\text{no contraction