33、最小有效函数扰动空间的分解定理

最小有效函数扰动空间的分解定理

1. 基本假设与有限表示的移动闭包

首先有如下假设：
- 假设 4.1 ：$\pi: R \to R$ 是一个最小有效函数，它是连续分段线性的，断点集为 $B$，且 $B \cap [0, 1]$ 是有限的，同时假设 $B$ 中没有冗余断点。
- 假设 4.2 ：移动闭包 $\text{clsemi}(\Omega_0)$ 可以通过移动和组件进行有限表示。即存在有限集 $\Omega$ 和有限集 $C = {C_1, C_2, \ldots, C_k}$，其中 $C_i$ 是连通覆盖组件，每个 $C_i$ 是有限个开区间的并集，使得 $\text{clsemi}(\Omega_0) = \text{jmoves}(\Omega, C) := \text{join}(\Omega \cup \bigcup_{i = 1}^{k} \text{moves}(C_i \times C_i))$。不失一般性，组件 $C_i$ 可以取为最大且两两不相交的。

在某些情况下，假设 4.2 成立，例如：
- 定理 4.3 ：若 $\pi$ 是一个分段线性函数，其断点是有理数，即 $B \subseteq G = \frac{1}{q}Z$ （$q \in N$），那么 $\text{clsemi}(\Omega_0)$ 有一个有限表示 $(\Omega, C)$，其中：
- 所有移动 $\tau_t, \rho_r|D \in \Omega$ 的定义域端点以及值 $t$ 和 $r$ 都在 $G \cap [0, 1]$ 中。