53、多项式时间计算加权合作匹配博弈的核仁

多项式时间计算加权合作匹配博弈的核仁

1. 引言

在许多实际场景中，比如网球联赛中球员组队进行表演赛，或者交易网络中人们进行交易，这些都可以抽象为匹配博弈。在加权匹配博弈里，给定一个图 (G = (V, E)) 以及权重函数 (w : E \to R_{\geq 0})，玩家集合就是图 (G) 的节点集合 (V)，(w(uv)) 表示节点 (u) 和 (v) 合作所获得的价值。对于每个联盟 (S \subseteq V)，其价值 (\nu(S)) 等于诱导子图 (G[S]) 上的最大权重匹配的价值。

在合作博弈论中，我们关心如何公平地将总价值 (\nu(V)) 重新分配给网络中的玩家。一个向量 (x \in R^V) 若满足 (x(V) = \nu(V))，则被称为一个分配。对于联盟 (S \subseteq V)，(x(S) - \nu(S)) 被定义为该联盟的超额，它可以看作是联盟 (S) 满意度的一种度量。一个公平的分配应该最大化瓶颈超额，即最大化最小超额，这可以通过以下线性规划来实现：

[
\begin{align }
\max &\quad \varepsilon \
\text{s.t.} &\quad x(S) \geq \nu(S) + \varepsilon, \quad \text{for all } S \subseteq V \
& \quad x(V) = \nu(V) \
& \quad x \geq 0
\end{align }
]

设 (\varepsilon^ ) 是该线性规划的最优值，(P(\